线性代数(基础篇)第一章:行列式 、第二章:矩阵

线性代数

0：串联各章

等价条件

1. ①|A|≠0，A可逆
⇦⇨②r(A)=n，A满秩
⇦⇨③α₁,α₂,…α_n线性无关
⇦⇨④Ax=0仅有零解

2. ①|A|=0，A不可逆
⇦⇨②r(A)<n，A不满秩
⇦⇨③α₁,α₂,…α_n线性相关
⇦⇨④Ax=0有非零解

第1章 行列式

1.行列式的定义

(1)行列式的本质定义

二阶行列式是以两个向量为邻边的平行四边形的面积，三阶行列式是以三个向量为邻边的平行六面体的体积，n阶行列式是以n个向量为邻边的n位图形的体积。

所以，读者应有这样的观点：把行列式看作是由若干个向量拼成的。
行列式的值非0时，具体是多少，只是量的问题。行列式的值是否为0，是一个质的问题。
例：①D₃≠0，则体积不为0，3个向量线性无关。若D₃=0，则3个向量线性相关。
②D_n≠0，n个向量线性无关。D_n=0，n个向量线性相关。

(2)行列式的逆序数法定义

1.排列和逆序

2.n阶行列式定义 (逆序数法)
【注意，行下标要顺排。求列标的逆序数，确定正负号】

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举例1：

举例2：行列式的逆序数定义是“对角线法则”的由来。对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。

例题1：

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(3)行列式的展开定理 (第三种定义)

1.余子式
去掉 a i j a_{ij} aij所在的第i行、第j列元素，余下元素组成的n-1阶子行列式，称为 a i j a_{ij} aij的余子式，记作 M i j M_{ij} Mij

2.代数余子式
代数余子式： A i j = ( − 1 ) i j M i j A_{ij}=(-1)^{i j}M_{ij} Aij=(−1)i jMij

3.行列式的行(列)展开定理
(1)行展开定理：同一行的元素与代数余子式相乘，为行列式的值，即 ∑ k = 1 n a i k A i k = ∣ A ∣ ( i = 1 , 2 , 3... n ) \sum\limits_{k=1}^na_{ik}A_{ik}=|A| \qquad (i=1,2,3...n) k=1∑naikAik=∣A∣(i=1,2,3...n)   【将n阶行列式 降阶为 n个n-1阶行列式】

(2)不同行的元素与余子式相乘为0： ∑ k = 1 n a i k A j k = 0 ( i ≠ j ) \sum\limits_{k=1}^na_{ik}A_{jk}=0 \qquad (i≠j) k=1∑naikAjk=0(i=j)

2.行列式的性质

1.行列互换，其值不变： ∣ A ∣ = ∣ A T ∣ |A|=|A^T| ∣A∣=∣AT∣   【行列地位等价】
2.行列式中 某行(列)元素全为0，则行列式值为0
3.若行列式某一行有公因子k，则可以提到行列式的外面   【倍乘】
4.行列式中某行元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和。反之，可相加。   (单行可拆性、单行可加性)

5.行列式中 两行(列)互换，行列式值反号
6.行列式中 两行元素相等或对应成比例，则行列式值为0
7.某行乘k倍加到另一行，行列式值不变   【倍加】

3.行列式的公式

1.$|AB|=|A|\cdot |B|$   (A B为同阶方阵)
推论： ∣ A n ∣ = ∣ A ∣ n |A^n|=|A|^n ∣An∣=∣A∣n

2.若A为n阶方阵，则 ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ |kA|=k^n|A| ∣kA∣=kn∣A∣

3.一般地，$|AB|\ne |A||B|$

4. ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*|=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1

5.不满秩、不可逆、向量组线性相关，则行列式 = 0       满秩、可逆、行列式非零、线性无关的关系

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例题1：23李林四(一)15.

分析：
答案：2048

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4.基本行列式

(1)主对角线行列式

右上三角行列式、左下三角行列式、对角行列式：主对角线元素的乘积

(2)副对角线行列式

逆序数 τ ( n , n − 1 , n − 2 , . . . 1 ) = ( n − 1 ) ( n − 2 ) . . . 1 = n ( n − 1 ) 2 τ(n,n-1,n-2,...1)=(n-1) (n-2) ... 1=\dfrac{n(n-1)}{2} τ(n,n−1,n−2,...1)=(n−1) (n−2) ... 1=2n(n−1)

(3)拉普拉斯行列式

主对角线、副对角线的分块矩阵的行列式

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例题1:计算行列式

分析：凑分块矩阵、零矩阵。将13列互换，再将24行互换
答案： ( a 1 a 4 − b 1 b 4 ) ( a 2 a 3 − b 2 b 3 ) (a_1a_4-b_1b_4)(a_2a_3-b_2b_3) (a1a4−b1b4)(a2a3−b2b3)

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(4)范德蒙德行列式

盯着第二行，所有大的下标减去小的下标

(5)爪型行列式

斜爪 消 平(竖)爪，化为三角行列式

(6)异爪型行列式：递推法

(1)阶数不高：直接展开 ①凑0最多 ②按展开后基本型最多(三角行列式最多)的方式展开
(2)阶数较高，n阶：递推法

(1)递推法：建立 D n D_n Dn 与 D n − 1 D_{n-1} Dn−1 的关系式，从而实现递推。
①元素分布规律相同
② D n − 1 D_{n-1} Dn−1只比 D n D_n Dn 少一阶

(2)展开方法
①三对角行列式方法：所有的行加到最后一行 (所有列加到第一列)，然后展开。观察负号。
②两斜一横(竖)：对爪尾的两个尖尖进行展开，找递推规律

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例题1：低阶

分析：异爪型行列式，按照最后一行展开。发现余子式均为主对角线行列式

答案： λ 4 λ 3 2 λ 2 3 λ 4 λ^4 λ^3 2λ^2 3λ 4 λ4 λ3 2λ2 3λ 4

例题2：15年13.   求n阶异爪型行列式

分析：异爪型行列式，按照爪尾的两个尖尖展开，找递推规律

答案： 2 n 1 − 2 2^{n 1}-2 2n 1−2

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(7)行(列)和相等

全部加到第一列，提取公因式，第一列全为1。
再将第一列下方全消为0，按照第一列展开。

(1)主对角线

分析：行和相等，为 a (n-1)b

答案：

(2)副对角线

5.求行列式

(1)具体型行列式的计算

①化7大基本行列式、7大性质、行展开定理、逆序数法
②递推法：n阶异爪型行列式
③含x：行列式表示的函数和方程

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例题1：

答案：

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(2)抽象行列式

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例题1：

分析：从右向左，化简目标，凑成已知

答案：a b

例题2：将向量的线性组合 表示为 矩阵相乘的形式

分析：

答案：10

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(3)代数余子式 的改写

第2章 矩阵

1.矩阵的定义

1.矩阵：
矩阵本身是一个数表，不进行运算。矩阵由若干个向量组成。
①m×n矩阵 ②n阶方阵 (n阶矩阵，即为n×n矩阵)

2.同型矩阵：
行数相同，列数也相同

方阵

1.方阵定义：
方阵为行列数相等的矩阵，如A_nn、A_mm

2.只有方阵才有的性质：
(1)行列式
只有方阵才有行列式。
别再问汤家凤老师3行4列的行列式怎么算了。“你有没有发现把我吓死了”(doge)

(2)逆矩阵
1.可逆矩阵一定是方阵。
2.如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。

(3)特征值、特征向量
只有方阵才有特征值与特征向量

(4)二次型
只有方阵才有二次型

2.矩阵运算

五大矩阵运算：①求行列式 ②求转置 ③求逆 ④求伴随 ⑤求幂

(1)相等

(2)加法

(3)数乘矩阵

(4)矩阵乘法
c i j c_{ij} cij为 a i a_i ai和 b j b_j bj两向量的内积

注：

矩阵乘法不满足交换律，不能随意交换位置，$AB\ne BA$
故：① ( A B ) 2 ≠ A 2 B 2 (AB)^2≠A^2B^2 (AB)2=A2B2，正确的写法应该是 ( A B ) 2 = A B A B ≠ A A B B (AB)^2=ABAB≠AABB (AB)2=ABAB=AABB
② ( A B ) 2 ≠ A 2 2 A B B 2 (A B)^2≠A^2 2AB B^2 (A B)2=A2 2AB B2，正确的写法应该是 ( A B ) 2 = ( A B ) ( A B ) = A 2 A B B A B 2 (A B)^2=(A B)(A B)=A^2 AB BA B^2 (A B)2=(A B)(A B)=A2 AB BA B2

(5)转置、转置矩阵
①若A为方阵， ∣ A ∣ = ∣ A T ∣ |A|=|A^T| ∣A∣=∣AT∣
② ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT

转置T：transpose、transposition

(6)向量的内积与正交

内积： ( α , β ) = α T β (α,β)=α^Tβ (α,β)=αTβ
正交： α T β = 0 α^Tβ=0 αTβ=0

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例题：

答案：

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(7)施密特正交化

β 1 = α 1 β₁=α₁ β1=α1

β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 β₂=α₂-\dfrac{(α₂,β₁)}{(β₁,β₁)}β₁ β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1

β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 β₃=α₃-\dfrac{(α₃,β₁)}{(β₁,β₁)}β₁-\dfrac{(α₃,β₂)}{(β₂,β₂)}β₂ β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2
…
β n = α n − ( α n , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α n , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 − . . . − ( α n , β n − 1 ) ( β n − 1 , β n − 1 ) β n − 1 β_n=α_n-\dfrac{(α_n,β₁)}{(β₁,β₁)}β₁-\dfrac{(α_n,β₂)}{(β₂,β₂)}β₂-...-\dfrac{(α_n,β_{n-1})}{(β_{n-1},β_{n-1})}β_{n-1} βn=αn−(β1,β1)(αn,β1)β1−(β2,β2)(αn,β2)β2−...−(βn−1,βn−1)(αn,βn−1)βn−1

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例题：

答案：

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(8)矩阵的幂

5种方法求矩阵的幂Aⁿ：
①$A=BkE$：二次展开式， A n = ( B k E ) n A^n = (B kE)^n An=(B kE)n

A = B C，Aⁿ = (B C)ⁿ。要求BC=CB，可用二项展开式 。一般令C=kE

②第五章：A可相似对角化
$|\lambda E-A|$求出A的特征值和特征向量。用特征值组成$\Lambda$，用特征向量组成$P$。验证A可相似对角化。
则： P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=Λ P−1AP=Λ，则 A = P Λ P − 1 A=PΛP^{-1} A=PΛP−1，则 A n = P Λ n P − 1 A^n=PΛ^nP^{-1} An=PΛnP−1

③$r(A)=1$： A n = [ t r ( A ) ] n − 1 ⋅ A A^n=[tr(A)]^{n-1}·A An=[tr(A)]n−1⋅A

r(A)=1，则n个特征值中，一个特征值为tr(A)，剩余n-1个特征值均为0

④分块矩阵，分块分别求n次幂：
A = [ B O O C ] A=\left[\begin{array}{cc} B & O \\ O & C \end{array}\right] A=[BOOC]，则 A n = [ B n O O C n ] A^n=\left[\begin{array}{cc} B^n & O \\ O & C^n \end{array}\right] An=[BnOOCn]

⑤试算A²、A³，归纳Aⁿ

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例题1：试算，归纳

答案：

例题2： A n = ( B C ) n A^n=(B C)^n An=(B C)n

答案：

例题3：张宇30讲线代分册

答案：

例题4：23李林四(一)23.

答案：

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3.几种重要矩阵（几种特殊矩阵）

1.零矩阵
O

2.单位矩阵
E或I

3.数量矩阵
kE

4.对角矩阵 (对角阵)

Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ n ) = ( λ 1 λ 2 . . . λ n ) Λ={\rm diag}(λ₁,λ₂,...,λ_n)=\left(\begin{array}{cc} λ₁ & & \\ & λ₂ & \\ & & ...\\ & & & λ_n \end{array}\right) Λ=diag(λ1,λ2,...,λn)= λ1λ2...λn

对角阵的幂：主对角线上元素各取幂
Λ n = ( λ 1 n λ 2 n . . . λ n n ) Λ^n=\left(\begin{array}{cc} {λ₁}^n & & \\ & {λ₂}^n & \\ & & ...\\ & & & {λ_n}^n \end{array}\right) Λn= λ1nλ2n...λnn

举例n=-1：
对角阵的逆矩阵：主对角线上元素都取倒数
Λ − 1 = ( 1 λ 1 1 λ 2 . . . 1 λ n ) Λ^{-1}=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{λ₁} & & \\ & \frac{1}{λ₂} & \\ & & ...\\ & & & \frac{1}{λ_n} \end{array}\right) Λ−1= λ11λ21...λn1

5.上/下三角矩阵
上(下)三角矩阵和对角阵的特征值，均为主对角线元素

6.对称矩阵
A T = A ⇔ a i j = a j i A^T=A\Leftrightarrow a_{ij}=a_{ji} AT=A⇔aij=aji

若 a i j = A i j a_{ij}=A_{ij} aij=Aij，则 A T = A ∗ A^T=A^* AT=A∗

7.反对称矩阵
A T = − A ⇔ { a i j = − a j i ， i ≠ j a i i = 0 A^T=-A \Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} a_{ij}&=-a_{ji}，i≠j \\ a_{ii}&=0 \end{aligned}\right. AT=−A⇔{aijaii=−aji，i=j=0

8.正交矩阵

定义： Q T Q = Q Q T = E Q^TQ=QQ^T=E QTQ=QQT=E
  ⇔ Q T = Q − 1 \Leftrightarrow Q^T=Q^{-1} ⇔QT=Q−1
  $\iff$ $Q$是由标准正交基组成(两两垂直正交，且都是单位向量)

9.分块矩阵

性质：副对角线要对调位置

(1)分块矩阵的逆矩阵：
①对角阵
主对角线： ( A O O B ) − 1 = ( A − 1 O O B − 1 ) \left(\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{array}\right) (AOOB)−1=(A−1OOB−1)

副对角线： ( O A B O ) − 1 = ( O B − 1 A − 1 O ) \left(\begin{array}{cc} O & A \\ B & O \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} O &B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{array}\right) (OBAO)−1=(OA−1B−1O)

②三角阵

左乘同行，右乘同列，取相反数

主对角线：
( A O C B ) − 1 = ( A − 1 O − B − 1 C A − 1 B − 1 ) \left(\begin{array}{cc} A & O \\ C & B \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & O \\ -B^{-1}CA^{-1} & B^{-1} \end{array}\right) (ACOB)−1=(A−1−B−1CA−1OB−1)

( A C O B ) − 1 = ( A − 1 − A − 1 C B − 1 O B − 1 ) \left(\begin{array}{cc} A & C \\ O & B \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \\ O & B^{-1} \end{array}\right) (AOCB)−1=(A−1O−A−1CB−1B−1)

副对角线：
( O A B C ) − 1 = ( − B − 1 C A − 1 B − 1 A − 1 O ) \left(\begin{array}{cc} O & A \\ B & C \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} -B^{-1}CA^{-1} &B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{array}\right) (OBAC)−1=(−B−1CA−1A−1B−1O)

( C A B O ) − 1 = ( O B − 1 A − 1 − A − 1 C B − 1 ) \left(\begin{array}{cc} C & A \\ B & O \end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cc} O &B^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1} \end{array}\right) (CBAO)−1=(OA−1B−1−A−1CB−1)

(2)分块矩阵的转置矩阵
主对角线： ( A O O B ) T = ( A T O O B T ) \left(\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}\right)^T=\left(\begin{array}{cc} A^T & O \\ O & B^T \end{array}\right) (AOOB)T=(ATOOBT)

副对角线： ( O A B O ) T = ( O B T A T O ) \left(\begin{array}{cc} O & A \\ B & O \end{array}\right)^T=\left(\begin{array}{cc} O &B^T \\ A^T & O \end{array}\right) (OBAO)T=(OATBTO)

10.幂零矩阵
A k = O A^k=O Ak=O
幂零矩阵的主对角线元素为0，每升一次幂，元素就向右上方移动一斜行，秩减一。

11.幂幺矩阵
A k = E A^k=E Ak=E

12.幂等矩阵
A 2 = A A^2=A A2=A

13.行阶梯形矩阵
①若有零行，全在下方：所有非零行在所有零行的上面
②从行上看，出现连续0的个数自上而下严格单增：所有非零行的首个非零元所在列标严格单增

14.行最简形矩阵
①首先是行阶梯形矩阵
②每个非零行的首个非零元(主元)为1
③每个非零行的首个非零元所在列的其他元素均为0

15.标准形矩阵
左上角为单位矩阵，其他元素均为0

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例题1：07年15.   幂零矩阵

分析：A的秩为3，A²的秩为2，A³的秩为1，Aⁿ=A⁴的秩为0

答案：1

例题2：08年5.   幂零阵、可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

分析：由 A 3 = O A³=O A3=O得 E ± A 3 = E E±A^3=E E±A3=E

即 E = E A 3 = ( E A ) ( E 2 − A E A 2 ) = ( E A ) ( E − A A 2 ) E=E A^3=(E A)(E^2-AE A^2)=(E A)(E-A A²) E=E A3=(E A)(E2−AE A2)=(E A)(E−A A2)，则$EA$可逆且 ( E A ) − 1 = E − A A 2 (E A)^{-1}=E-A A² (E A)−1=E−A A2

即 E = E − A 3 = ( E − A ) ( E 2 A E A 2 ) = ( E − A ) ( E A A 2 ) E=E-A^3=(E-A)(E^2 AE A^2)=(E-A)(E A A^2) E=E−A3=(E−A)(E2 AE A2)=(E−A)(E A A2)，则$E-A$可逆且 ( E − A ) − 1 = E A A 2 (E-A)^{-1}=E A A^2 (E−A)−1=E A A2

答案：C

例题3：18年6.

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4.可逆矩阵

(1)可逆矩阵的定义

1.对于n阶方阵A，若存在一个n阶方阵B，使得$AB=E或BA=E$，则A、B互逆：
① A = B − 1 ， B = A − 1 A=B^{-1}，B=A^{-1} A=B−1，B=A−1
②$AB=E=BA$

2.特殊情况：若$A(kB)=E$，则$kB$为A的逆矩阵

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例题1：

分析：
$AB=AB$
$AB-A-B=O$
$A(B-E)-B=O$
$A(B-E)-(B-E)=E$
$(A-E)(B-E)=E$
∴$A-E$与$B-E$互为逆矩阵

答案：A

例题2：01年4.

解：由 A 2 A − 4 E = O A² A-4E=O A2 A−4E=O，移项得 A 2 A − 2 E = 2 E A² A-2E=2E A2 A−2E=2E
得 $(A2E)(A-E)=2E$ ∴ ( A − E ) − 1 = 1 2 ( A 2 E ) ∴(A-E)^{-1}=\dfrac{1}{2}(A 2E) ∴(A−E)−1=21(A 2E)   注意，系数要放在括号外，不要把矩阵写成分式

答案： 1 2 ( A 2 E ) \dfrac{1}{2}(A 2E) 21(A 2E)

例题3：23李林四(三)15.   $AB=E=BA$

分析：
凑可逆阵：由 A 2 = 2 A B E A²=2AB E A2=2AB E，移项得 A 2 − 2 A B = E A²-2AB=E A2−2AB=E，即$A(A-2B)=E$。
∴$A$与$A-2B$互为可逆阵，∴$A(A-2B)=(A-2B)A$，即 A 2 − 2 A B = A 2 − 2 B A A²-2AB=A²-2BA A2−2AB=A2−2BA。即$AB=BA$。
∴ ∣ A B − B A 2 A ∣ = ∣ 2 A ∣ = 2 3 ∣ A ∣ = 8 × 1 = 8 |AB-BA 2A|=|2A|=2³|A|=8×1=8 ∣AB−BA 2A∣=∣2A∣=23∣A∣=8×1=8

答案：8

例题4：22年15.

分析：可逆矩阵的定义
或

答案：-E

例题5：08年5.   幂零阵、可逆矩阵定义、立方和公式、立方差公式

① E 3 = E 3 A 3 = ( E A ) ( E 2 − A E A 2 ) = ( E A ) ( E − A A 2 ) E^3=E^3 A^3=(E A)(E^2-AE A^2)=(E A)(E-A A²) E3=E3 A3=(E A)(E2−AE A2)=(E A)(E−A A2)，则$EA$可逆且 ( E A ) − 1 = E − A A 2 (E A)^{-1}=E-A A² (E A)−1=E−A A2
② E 3 = E 3 − A 3 = ( E − A ) ( E 2 A E A 2 ) = ( E − A ) ( E A A 2 ) E^3=E^3-A^3=(E-A)(E^2 AE A^2)=(E-A)(E A A^2) E3=E3−A3=(E−A)(E2 AE A2)=(E−A)(E A A2)，则$E-A$可逆且 ( E − A ) − 1 = E A A 2 (E-A)^{-1}=E A A^2 (E−A)−1=E A A2

答案：C

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(2)可逆矩阵性质

若A为n阶可逆矩阵，则：
①A的逆矩阵必唯一
②$|A|\ne 0$
③ A − 1 A^{-1} A−1也可逆，且 ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A
A T A^T AT也可逆，且 ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (A^{-1})^T=(A^T)^{-1} (A−1)T=(AT)−1
④乘可逆矩阵，不改变原矩阵的秩
⑤ ( k A ) − 1 = 1 k A − 1   ( k ≠ 0 ) (kA)^{-1}=\dfrac{1}{k}A^{-1} \ (k≠0) (kA)−1=k1A−1 (k=0)
⑥ ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1}|=|A|^{-1} ∣A−1∣=∣A∣−1
⑦若B也为n阶可逆矩阵，则$AB$也可逆，且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
但$AB$不一定可逆，且 ( A B ) − 1 ≠ A − 1 B − 1 (A B)^{-1}≠A^{-1} B^{-1} (A B)−1=A−1 B−1

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例题1：17年13.   乘可逆矩阵，不改变原矩阵的秩

分析：
A = ( 1 0 1 1 1 2 0 1 1 ) → ( 1 0 1 0 1 1 0 0 0 ) A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1\\ \end{array}\right)→\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right) A= 110011121 → 100010110   $\therefore r(A)=2$

矩阵 ( A α 1 , A α 2 , A α 3 ) = A ( α 1 , α 2 , α 3 ) (Aα_1,Aα_2,Aα_3)=A(α_1,α_2,α_3) (Aα1,Aα2,Aα3)=A(α1,α2,α3)
∵ α 1 , α 2 , α 3 α_1,α_2,α_3 α1,α2,α3线性无关   ∴ ( α 1 , α 2 , α 3 ) (α_1,α_2,α_3) (α1,α2,α3)为可逆矩阵
∴ r ( A α 1 , A α 2 , A α 3 ) = r ( A ) = 2 r(Aα_1,Aα_2,Aα_3)=r(A)=2 r(Aα1,Aα2,Aα3)=r(A)=2

答案：2

例题2：17年5.

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(3)求逆矩阵

1.逆矩阵定义：$▯\cdot ▯=E$

$AB=E$，则 A − 1 = B A^{-1}=B A−1=B

2.用伴随矩阵求逆矩阵： A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗

求数值矩阵的逆矩阵，步骤：
①求|A|≠0
②求A*
③写出 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗

注意，求 A ∗ A^* A∗ 的时候：① A ∗ A^* A∗和 A i j A_{ij} Aij的位置是竖着求的 ②注意负号 A i j = − ( 1 ) i j M i j A_{ij}=-(1)^{i j}M_{ij} Aij=−(1)i jMij

3.初等变换法求逆矩阵： ( A ∣ E ) → ( E ∣ A − 1 ) (A|E)→(E|A^{-1}) (A∣E)→(E∣A−1)

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例题：2阶矩阵的逆矩阵 = 二阶矩阵的伴随矩阵 / 行列式
A*：主对调，副变号

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5.伴随矩阵 A*

(1)伴随矩阵的定义

若 A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) A=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) A= a11a21a31a12a22a32a13a23a33 ，则 A ∗ = ( A 11 A 21 A 31 A 12 A 22 A 32 A 13 A 23 A 33 ) A^*=\left(\begin{array}{ccc} A_{11} & A_{21} & A_{31}\\ A_{12} & A_{22} & A_{32}\\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{array}\right) A∗= A11A12A13A21A22A23A31A32A33

(2)伴随矩阵性质 (伴随矩阵公式)

1. A ⋅ A ∗ = A ∗ ⋅ A = ∣ A ∣ E ⇨ { A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 A − 1 = A ∗ ∣ A ∣ A·A^* = A^*·A=|A|E\quad ⇨\quad \left\{ \begin{aligned} A^*=|A|A^{-1} \\ A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|} \end{aligned} \right. A⋅A∗=A∗⋅A=∣A∣E⇨⎩ ⎨ ⎧A∗=∣A∣A−1A−1=∣A∣A∗

推广为：🐕·🐕*=|🐕|E

推导： A ⋅ A ∗ = ( a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ) ( A 11 A 21 . . . A n 1 A 12 A 22 . . . A n 2 . . . . . . . . . A 1 n A 2 n . . . A n n ) = ( ∣ A ∣ ∣ A ∣ . . . ∣ A ∣ ) = ∣ A ∣ E A·A^* =\left(\begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21}&a_{22} &... &a_{2n}\\ ...&... &&...\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc} A_{11}&A_{21} &... &A_{n1} \\ A_{12}&A_{22} &... &A_{n2}\\ ...&... &&...\\ A_{1n}&A_{2n}&...&A_{nn} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} |A| & & & \\ &|A| & &\\ & &...&\\ &&&|A| \end{array}\right)=|A|E A⋅A∗= a11a21...an1a12a22...an2.........a1na2n...ann A11A12...A1nA21A22...A2n.........An1An2...Ann = ∣A∣∣A∣...∣A∣ =∣A∣E

2. ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^*| = |A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1
( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 ⋅ A (A^*)^*=|A|^{n-2}·A (A∗)∗=∣A∣n−2⋅A

3. r ( A ∗ ) = { n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 0 , r ( A ) < n − 1 r(A^*)= \left\{ \begin{aligned} n,\quad & r(A)=n \\ 1,\quad &r(A)=n-1 \\ 0,\quad &r(A)<n-1 \end{aligned} \right. r(A∗)=⎩ ⎨ ⎧n,1,0,r(A)=nr(A)=n−1r(A)<n−1

4. ( k A ∗ ) n = k n − 1 A ∗ (kA^*)^n=k^{n-1}A^* (kA∗)n=kn−1A∗

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例题1：05年12.

分析：

答案：C

例题2：09年6.

答案：

例题3：11年6.   r(A*)的性质

分析：

答案：D

例题4：13年13.

分析：

答案：-1

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6.初等变换 与 初等矩阵

(1)三种初等变换

以下三种变换，称为矩阵的初等变换：
1.倍乘：用非零常数k乘矩阵的某一行(列)
2.互换：互换矩阵中某两行(列)的位置
3.倍加：将矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)

对行进行初等变换，称为初等行变换；对列进行初等变换，称为初等列变换

(2)初等变换性质

1.初等变换只有秩不变，其他：迹、特征值、行列式均可能改变。
理论上不改变特征值的初等变换，只有相似变换和正交变换。

(3)初等矩阵

初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

1.倍乘初等矩阵 E i ( k ) E_i(k) Ei(k)：第$i$行(或第2列)乘$k$倍
2.互换初等矩阵 E i j E_{ij} Eij：第$i,j$行(或第$i,j$列)互换
3.倍加初等矩阵 E i j ( k ) E_{ij}(k) Eij(k)：第$j$行的$k$倍加到第$i$行 (或第$i$列的k倍加到第$j$列)

(4)初等矩阵的性质

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例题1：23李林四(四)5.


分析：

答案：D

例题2：14年13.

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7.矩阵的秩

(1)矩阵的秩的定义

①设A是m×n矩阵，A中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩，记为r(A)
②若存在$k$阶子式不为零，且任意$k1$阶子式(如果有的话)全为零，则$r(A)=k$，且 r ( A n × n ) = n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ A 可逆 r(A_{n×n})=n \Leftrightarrow |A|≠0 \Leftrightarrow A可逆 r(An×n)=n⇔∣A∣=0⇔A可逆
③矩阵秩的本质：组成该矩阵的线性无关的向量的个数，有且仅有k个

k阶子式：A中任取k行k列，交叉点的元素按照原来的位置排列的k阶行列式，称为k阶子式。

(2)秩的性质

1. r ( A B ) ≤ m i n { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)≤min\{ r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}
推论①：若A可逆，则$r(AB)=r(BA)=r(B)$

2.$AB=O$，则 $r(A)r(B)\le A的列数$

3.$r(AB)\le r(A)r(B)$

$r(AB)\le r(A,B)\le r(A)r(B)$

4.若A为m×n矩阵，矩阵的秩≤行秩，≤列秩。即 r ( A ) ≤ m i n { m , n } r(A)≤min\{m,n\} r(A)≤min{m,n}

5. r ( A ) = r ( A T ) = r ( A A T ) = r ( A T A ) r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^TA) r(A)=r(AT)=r(AAT)=r(ATA)

6. r ( A , B ) = r ( A , B ) T = r ( A T B T ) r(A,B)=r(A,B)^T=r\dbinom{A^T}{B^T} r(A,B)=r(A,B)T=r(BTAT)

7.分块矩阵的秩：
① r ( A O O B ) = r ( A ) r ( B ) r\left(\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}\right)=r(A) r(B) r(AOOB)=r(A) r(B)

② r ( A ) r ( B ) ≤ r ( A O C B ) ≤ r ( A ) r ( B ) r ( C ) r(A) r(B)≤r\left(\begin{array}{cc} A & O \\ C & B \end{array}\right)≤r(A) r(B) r(C) r(A) r(B)≤r(ACOB)≤r(A) r(B) r(C)

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例题1：18年6.

分析：矩阵是列分块的，可以作列变换而不改变矩阵的秩

A、B：(A,AB)=A(E,B)
∵r(A,b)≥r(A)，∴①r(A,AB)≥r(A)
∵r(AB)≤r(A)且r(AB)≤r(B)，∴②r(A,AB)=r[A(E,B)]≤r(A)
综上①②，r(A,AB)=r(A)
A✔B❌

C： m a x { r ( A ) , r ( ) B } ≤ r ( A , B ) ≤ r ( A ) r ( B ) max\{r(A),r()B\}≤r(A,B)≤r(A) r(B) max{r(A),r()B}≤r(A,B)≤r(A) r(B) 。C❌

D： r ( A , B ) = r ( A , B ) T = r ( A T B T ) r(A,B)=r(A,B)^T=r\dbinom{A^T}{B^T} r(A,B)=r(A,B)T=r(BTAT)，D❌

答案：A

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8.等价矩阵、等价标准型

1.等价矩阵：
①如果矩阵A经初等变换得矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价
②同型下，r(A)=r(B)

2.等价标准型：
满秩矩阵可经初等变换为单位阵，不满秩则只能化为 ( E r O O O ) \left(\begin{array}{cc} E_r & O \\ O & O \end{array}\right) (ErOOO)形式

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