剑指offer10-II.青蛙跳台阶问题

10-II-青蛙跳台阶问题

来源：力扣（LeetCode）

链接: https://leetcode-cn.com/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9 7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：

• 0 <= n <= 100

解法

该题其实就是斐波拉契数列，因为前后元素关系满足$F(n)=F(n-1)F(n-2)$, 因为每次可以跳一层，也可以跳两层，那么第n层的结果可以是第n-1层(跳一层)和第n-2层(跳两层)的结果之和。

• 递归：由于给出了计算公式$F(n)=F(n-1)F(n-2)$，可以使用递归的方式获得最终的结果
• 迭代：由于每个元素的计算结果只与最近的两个元素的结果相关，可以使用两个变量保存这两个相关的结果，并迭代进行更新，这样就避免了类似于递归方式很多重复的中间计算
• 动态规划：由于每次选择可以有两种状态，跳一层还是两层，并且状态转移方程已经给出$F(n)=F(n-1)F(n-2)$，因此可以考虑使用动态规划的方式

代码实现

递归方法：

• python实现

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 1
        if n < 3:
            return n
        f_1 = 1
        f_2 = 2
        for i in range(3, n 1):
            ans = (f_2   f_1) % 1000000007
            f_1 = f_2
            f_2 = ans
        return ans

• c 实现

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        if(n==0)
        {
            return 1;
        }
        if(n < 3)
        {
            return n;
        }
        
        int ans = 0;
        int f_1 = 1;
        int f_2 = 2;
        for(int i=3; i<=n; i  )
        {
            ans = (f_1   f_2) % 1000000007;
            f_1 = f_2;
            f_2 = ans;
        }
        return ans;
    }
};

**迭代方法：**要注意迭代的终止，n要遍历到

• python实现

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 1
        if n < 3:
            return n
        f_1 = 1
        f_2 = 2
        for i in range(3, n 1):
            ans = (f_2   f_1) % 1000000007
            f_1 = f_2
            f_2 = ans
        return ans

• c 实现

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        if(n==0)
        {
            return 1;
        }
        if(n < 3)
        {
            return n;
        }
        
        int ans = 0;
        int f_1 = 1;
        int f_2 = 2;
        for(int i=3; i<=n; i  )
        {
            ans = (f_1   f_2) % 1000000007;
            f_1 = f_2;
            f_2 = ans;
        }
        return ans;
    }
};

动态规划方法：

• python实现

class Solution:
    def numWays(self, n: int) -> int:
        if n == 0:
            return 1
        if n < 3:
            return n
        dp = [0] * (n 1)
        dp[0] = 1
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        for i in range(3, n 1):
            dp[i] = (dp[i-1]   dp[i-2]) % 1000000007
        return dp[n]

• c 实现

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        if(n == 0)
        {
            return 1;
        }
        if(n < 3)
        {
            return n;
        }

        vector<int> dp(n 1);
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for(int i=3; i<=n; i  )
        {
            dp[i] = (dp[i-1]   dp[i-2]) % 1000000007;
        }
        return dp[n];
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度： 递归超时，迭代$O(n)$,动态规划$O(n)$
• 空间复杂度：迭代$O(1)$ , 动态规划$O(n)$

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