模拟实现AVL树插入操作

avl树

本文展示的是通过平衡因子控制高度的avl树。
平衡因子(balance factor简称bf)等于右子树高度-左子树高度，我们要控制树中的所有平衡因子都小于等于1。

结构

树中节点的成员如下

template<class K, class V>// k为键值
struct AVLTreeNode
{
// 本树使用三叉链可方便操作
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

插入

插入操作与搜索树类似，如下图

我们想把7插入，那么我们就会找到6的右节点，将7插入即可。不同点是，在avl树中，我们需要控制bf值，我们发现将7插入后，6的bf将成为1，5的bf值将变成2，此时5的bf值大于1，不符合avl树的规则，因此我们需要一定的操作来使avl树重新平衡，这个操作就叫旋转，我们接下来将详细解释旋转的做法。

旋转

左旋转

在刚刚的例子中我们发现根节点的bf值为2，且他的右节点的bf值为1，此时我们需要使用左旋转。这是一张抽象图，代表需要左旋转的情况。

具体操作是把subR的左子树给parent作为右子树，再把parent作为subR的左子树，如下图

左单旋代码

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* pParent = parent->_parent;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL != nullptr)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subR->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
			}
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}

右旋转

当父节点的bf值为-2，且他的左节点的bf值为-1时即需要使用右旋转，如下图是需要右旋转的抽象图

右旋转的操作与左旋转向反，先把subL的右子树作为parent的左子树，再把parent作为subL的右子树即可，如下图

右旋转代码

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* pParent = parent->_parent;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR != nullptr)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subL->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

右左双旋

在一些情况下以此单旋无法解决问题，比如下面这三种情况
这三种情况有一个共同点，父节点的bf值都是2，右节点的bf值都是-1，在这种情况下都需要使用右左双旋，即先对subR进行一次右旋，再对parent进行一次左旋，唯一需要考虑的是bf值的控制，这点在后面会详细介绍。
先从最简单的情况三开始，

我们发现情况三在右左双旋之后parent，subR，subRL的bf值都变成了0
情况一：

情况二：

右左双旋代码

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);
		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
	}

左右双旋

在父节点的bf值为-2，父节点的左节点的bf值为1时就需要使用左右双旋，如下图所示的三种情况

左右双旋代码

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(subL);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
	}

insert代码

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		Node* parent = nullptr, * cur = _root;
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		while (cur)
		{
			if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		cur = new Node(kv);
		cur->_parent = parent;
		if (kv.first < parent->_kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_left)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf  ;
			}
			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && parent->_right->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && parent->_left->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
			}
		}
	}
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* pParent = parent->_parent;
		parent->_left = subLR;
		if (subLR != nullptr)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subL->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subL;
			}
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* pParent = parent->_parent;
		parent->_right = subRL;
		if (subRL != nullptr)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			subR->_parent = pParent;
			if (pParent->_left == parent)
			{
				pParent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pParent->_right = subR;
			}
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(subR);
		RotateL(parent);
		if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
	}
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(subL);
		RotateR(parent);
		if (bf == -1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
	}
private:
	Node* _root;
};

插入操作和搜索树一样，从根节点开始，若插入值大于根节点就向右

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