运筹说 第70期 | 算法:动态规划一

本期我们进行运筹学之动态规划算法的讲解，我们将对动态规划的基础知识进行一个简单的回顾，并介绍求解动态规划问题的MATLAB、Python和C 相关代码，以帮助大家利用工具快速求解动态规划问题，做到事半功倍。由于篇幅有限，小编接下来只展示部分代码，小伙伴们可以关注“运筹说”公众号→后台回复“算法介绍之动态规划（一）”获取完整代码。话不多说，我们一起来看看吧！

一、基础知识

1、多阶段决策的特点

（1）多阶段决策是与时间相关的；

（2）多阶段决策依赖于当前的状态；

（3）每一个时段都要作出决策；

（4）全部过程的决策是一个决策序列；

（5）本段决策的执行将影响下一阶段的决策；

（6）不仅要考虑本阶段最优，更要考虑全局最优。

2、动态规划的基本概念

使用动态规划方法解决多阶段决策问题，首先要将实际问题写成动态规划模型，此时要用到以下概念：

3、动态规划的基本思想与最优化原理

★ 最优化原理

最优化原理可以表述为：“一个过程的最优策略具有这样的性质：即无论初始状态及初始决策如何，对于先前决策所形成的状态而言，其以后的所有决策应构成最优策略。”

★ 基本思想

（1）将多阶段决策过程划分阶段，恰当地选取状态变量、决策变量及定义最优指标函数，从而把问题化成一族同类型的子问题，然后逐个求解。

（2）求解时从边界条件开始，逆（或顺）过程行进方向，逐段递推寻优。在每一个子问题求解时，都要使用它前面已求出的子问题的最优结果，最后一个子问题的最优解，就是整个问题的最优解。

（3）动态规划方法是既把当前一段与未来各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的一种最优化方法，因此每段的最优决策选取是从全局考虑的，与该段的最优选择一般是不同的。

★ 动态规划的基本方程

式中opt可根据题意取min 或max,vk(sk,uk)为状态sk ,决策uk 时对应的第k 阶段的指标函数值。

★ 动态规划与静态规划的关系

4、动态规划模型的建立与求解

★ 使用动态规划的一般前提

（1）满足动态规划的最优化原理；

（2）满足动态规划的无后效性原则，即某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。

★ 动态规划模型的建立

★ 逆序解法与顺序解法

逆序解法：寻优的方向与多阶段决策过程的实际行进方向相反，从最后一段开始计算逐段前推，求得全过程的最优策略，称为逆序解法。

顺序解法：寻优方向与过程的行进方向相同，计算时从第一段开始逐段向后递推，计算后一阶段要用到前一阶段的求优结果，最后一段计算的结果就是全过程的最优结果。

顺序解法与逆序解法本质上并无区别，一般来说，当初始状态给定时可用逆序解法，当终止状态给定时可用顺序解法。若问题给定了一个初始状态与一个终止状态，则两种方法均可使用。

★ 逆序解法与顺序解法在建模时的区别

二、算法实现

1、例题介绍

如图所示，给定一个线路网络图，要从A地向F地铺设一条输油管道，各点间连线上的数字表示距离，问应选择什么路线，可使总距离最短？

2、平台实现

我们以上述例题为例，借助MATLAB、Python和C 介绍实现求解动态规划问题的相关代码。

（1）顺序解法

① Python

★ 代码展示

如图所示，在编写代码时用0替换A，用1替换B1，依次类推……用12替换F。

 

★ 代码调用

代码运行及最终结果展示如下，最短路长为17，最短路径为0→1→4→8→11→12，即对应例题中的A→B1→C2→D2→E2→F。

 ②C

★ 平台介绍

C 代码的编写依靠Lightly平台来实现，Lightly支持C 工程项目开发，支持CMake，可选不同C 语言标准，语法高亮，智能提示，自动补全。它可以自动构建环境，实时同步资源到云端，支持多人协作，支持在线C 代码编辑、编译、运行。

输入项目名称，点击新建项目，开始编写代码。

★ 代码展示

如图所示，在编写代码时，用1替换A，用2替换B1，依次类推……用13替换F，逆序解法的代码同理。

 ★ 代码调用

代码运行及最终结果展示如下，最短路长为17，最短路径为1→2→5→9→12→13,即对应例题中的A→B1→C2→D2→E2→F。

（2）逆序解法

① MATLAB

★ 代码展示

★ 代码调用

代码运行及最终结果展示如下，最短路长为17，最短路径为1→2→5→9→12→13,即对应例题中的A→B1→C2→D2→E2→F。

② C

★ 代码展示

 

★ 代码调用

代码运行及最终结果展示如下，最短路长为17，最短路径为1→2→5→9→12→13,即对应例题中的A→B1→C2→D2→E2→F。

三、参考资料

【顺序解法Python实现】

【C 平台网址】

https://lightly.teamcode.com/

【顺序解法、逆序解法C 实现】

【逆序解法MATLAB实现】

本期的内容就介绍到这里，想要进一步了解运筹学，关注本公众号，快快学起来吧！

责编 | 刘文志

审核 | 徐小峰

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