笔记Hawkes Process详细带展示的

这一篇笔记仅是针对于Hawkes Process的基础知识介绍，可能并不全面，但应该可以理解的比较好！（感谢ChatGPT老师！）

Hawkes Process是一种在各个领域都有应用的对事件进行统计建模方法，是一种自我激励的点过程（point process），可以帮助我们了解事件是如何随时间发生的。

目录

Hawkes Process的数学表达式

在社交网络的场景下进一步理解Hawkes Process数学表达式

使用Python对一维的Hawkes process进行模拟

在正式介绍Hawkes Process之前，我们先通过一个例子来了解它表述的过程大概是什么样的。

Hawkes Process就像一场“popcorn”游戏，一个的历史事件的发生会导致另一个后续事件的发生，这个后续事件的发生又会对下一个事件的发生产生影响，就像连锁反应！但这种一级接一级的影响最终会停止，就像在聚会上每个人都厌倦了鼓掌，或者派对结束了一样，这被称为Hawkes Process的“end time”。

Hawkes Process的数学表达式

正如之前提到的一样，Hawkes Process是一种点过程，是一种对随机发生的事件进行建模的方法。 在Hawkes Process，事件可以触发其他事件，从而产生活动的“级联”或“多米诺骨牌效应”。

Hawkes Process的基本数学表达式是由 λ(t), μ和 α三个参数决定的：

• λ(t) ：Hawkes Process在时间 t 的“intensity”或“rate”。 换句话说，它是给定到该点之前发生的所有过去事件的情况下，在时间 t 附近的一个小时间间隔$\triangle t$内发生的事件的期望值。
• μ：Hawkes Process的“background rate”。 这是在没有任何触发或级联效应的情况下事件发生的rate。意思是说，在不受任何其他事情的影响下，一件事情的发生本身就具有一定的概率，这个基础的概率用μ表示。
• α ：是一个“triggering kernel”（也就是触发事件发生的核函数），它描述了过去的事件如何影响未来的事件。 它是一个取决于每个过去事件发生的时间的函数，衡量每个过去事件对当前给定的任意时间的影响强度（对当前事件发生intensity的影响）。
  • 核函数有很多种表达方式，这取决于具体的应用场景，但也有一些常用的函数表达。

在社交网络的场景下进一步理解Hawkes Process数学表达式

现在让我们考虑一个在社交网络下的场景，在这个社交网络中，用户可以在其中发布消息，每条消息都可以触发其他用户发布消息。 我们可以将这个sending posts的出发现象建模为Hawkes Process，其中每条消息都是一个事件，触发效果（ triggering effect）由triggering kernel（核函数）进行表示。

例如，我们可以把这个场景下给定时间的intensity表示为：

在这里，

• μ 表示消息发布的background rate（即，如果没有触发效果，消息发布自身就具有的频率）
• 代表了过去事件的影响，通过索引 i 遍历时间 t 之前发生的所有过去的消息 t_i
•  是triggering kernel，表示每个过去的消息对时间 t intensity的权重或影响。(请注意，在社交网络示例中，的确可以将triggering kernel写为  而不是 。 但在这里使用 的原因是因为它是每个过去事件的“权重”或“影响”的另一个通用表达，也就是说可以用不同的字母或者方程来描述triggering kernel)

 在这个场景下，triggering kernel 可以表示为：

• α 是triggering effect的强度大小（即，每条过去的消息会增加未来消息的intensity）
• β 是一个“decay rate”，它决定了过去消息的影响随时间衰减的速度（也就是说过去事件对未来事件的影响不是固定的，而是会随着时间减弱的）。

看到这里，你可能还会疑惑，这个intensity到底是什么意思，过去发生的事件到底如何影响着未来的事件。如果你也有这样和我最开始一样的疑惑的话，就继续看下去吧！

使用Python对一维的Hawkes process进行模拟

使用Python对一维的Hawkes process进行模拟的代码如下：

1.  
   import numpy as np
2.  
   import matplotlib.pyplot as plt
3.  
   from tick.hawkes import SimuHawkesExpKernels
4.  
    
5.  
   # Set up simulation parameters
6.  
   n_nodes = 1
7.  
   end_time = 100
8.  
   mu = 0.1 # background rate
9.  
   alpha = 0.8 # triggering kernel amplitude
10.  
    beta = 2 # triggering kernel decay rate
11.  
     
12.  
    # Create simulation object
13.  
    simu = SimuHawkesExpKernels(
14.  
    adjacency=np.array([[alpha]]), # adjacency matrix with only one node
15.  
    decays=beta, # decay rate for the kernel
16.  
    baseline=np.array([mu]), # background rate
17.  
    end_time=end_time,
18.  
    verbose=False,
19.  
    seed=10
20.  
    )
21.  
     
22.  
     
23.  
    # Simulate the process
24.  
    simu.simulate()
25.  
     
26.  
    # Extract the event times and estimate the kernel function
27.  
    times = simu.timestamps[0] # an array of event times (timestamps)
28.  
    t_grid = np.linspace(0, end_time, num=1000)
29.  
    kernel = alpha * np.exp(-beta * t_grid)
30.  
     
31.  
    # Compute the intensity function and plot it
32.  
    intensity = np.zeros_like(t_grid)
33.  
    for i, t in enumerate(t_grid):
34.  
    idx = np.where(times < t)[0]
35.  
    # np.where(times < t) returns a tuple containing the indices of all the elements in
36.  
    # the numpy array times that satisfy the condition times < t
37.  
    if len(idx) > 0:
38.  
    # For example, suppose t_grid is [0.0, 0.1, 0.2, 0.3, ..., 99.8, 99.9, 100.0] and times[idx] is
39.  
    # [5.6, 12.3, 35.2, 98.7]. The np.searchsorted function would return [56, 123, 352, 987], which are the indices
40.  
    # in t_grid that correspond to the event times in times[idx].
41.  
    intensity[i] = mu np.sum(kernel[i - np.searchsorted(t_grid, times[idx])])
42.  
    else:
43.  
    intensity[i] = mu
44.  
     
45.  
    plt.plot(t_grid, intensity)
46.  
    plt.xlabel('Time')
47.  
    plt.ylabel('Intensity')
48.  
    plt.title(f'Hawkes process with mu={mu}, alpha={alpha}, beta={beta}')
49.  
    plt.show()

在这个代码中，我们使用了tick这个package来进行Hawkes process的模拟，其中，我们使用SimuHawkesExpKernels 函数来模拟具有指数kernel的Hawkes process。代码中设定的参数如下：

• mu：background rate，表示在没有任何触发事件的情况下用户发消息率
• alpha：过去事件trigger未来事件的幅度，也就是触发效应的强弱
• beta：decay rate，表示过去帖子的触发效果随时间衰减的速度
• end_time：模拟的时间范围

例如，假设我们设置 mu = 0.1，alpha = 0.5，beta = 2.0，模拟100分钟的过程。然后SimuHawkesExpKernels 函数将生成用户发帖的随机timestamp（时间戳）。 生成的时间戳数将取决于我们为函数设置的参数mu，和triggering kernel的alpha 和 beta等。例如，这个函数会返回，用户将会在[9, 21, 28, 35]的timestamp上发帖。上述代码计算的intensity曲线如下图所示：

结合我们的社交网络背景来进行图的解释的话，我们可以假设现在有一个社交媒体用户，他过去在[9, 21, 28, 35]的时间戳上发布了 4 次帖子。我们想使用 Hawkes 过程来基于他们过去的发帖行为，预测该用户在40分钟的时候会发多少帖子。

现在，我们要计算该用户在每个timestamp的intensity function。 intensity function告诉我们，根据用户过去的行为，用户在特定时间发帖的可能性有多大。假设我们要计算时间 40 的intensity 。我们计算用户在40分钟之前发布的过去帖子的数量，即 4。然后我们使用triggering kernel计算每个过去的帖子对第40分钟的instensity的贡献，即使用，其中 t 是当前时间， 是过去发布的时间戳。

例如，第一个过去的帖子（时间戳 9）对第40分钟的intensity的贡献是：0.5 * exp(-2.0 * (40 - 9)) = 5.9 e-28。 我们对过去的每个帖子都这样做，并总结贡献以获得第40分钟的总intensity，为2.27 e-05 0.1 = 0.1。这意味着根据用户过去的行为，我们预测他们可能会在接下来的第40分钟内会发 0.1次左右的帖子。 但是，这只是基于模型的预测，用户发布的实际帖子数量可能因各种因素而有所不同。（注意，这里计算的结果与图片不吻合的原因是，图片里模拟了100次发帖的事件， 在40分钟前的timestamp数量并不是4次，而是更多）

所以，请务必注意，intensit计算并不能直接被解释为用户将在下一个时间戳发布的帖子数。 它只是根据用户过去的发帖行为，估算用户在任何给定时间可能发帖的瞬时速率，例如在40分钟里发帖的瞬时速度为0.1贴/ 分钟。实际的瞬时速度肯定是在更小的时间区间下来说的，这里只是举例说明。

我之后还会继续深入学习Hawkes Process，下一步应该是学习多维的Hawkes Process模拟和表达，希望不要学的太痛苦。最后，感谢ChatGPT老师的详解和帮助！！

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