LLC环路计算和仿真——K因子法

LLC环路设计参考杨波的博士论文《LLC resonant converter》第6章Small signal analysis of LLC resonant converter。

功率级波特图在高于谐振频率时：

低于谐振频率时：

文章指出，LLC低于谐振频率的小信号特性非常稳定，在该区域有两个极点，因为开关频率范围不是很宽，所以双极点不会移动太多。但是该区域有右半平面零点需要避开，带宽通常设计在2~5kHz。

高于谐振频率时极点变化范围较大，轻载时会存在一个低频极点，补偿时需要注意。

在感性区内，增益曲线频率越高增益低，本身为负反馈，补偿器需要设计为正反馈。当频率从感性区跨越到容性区内，相位相差180度。

所以环路补偿设计的工作区域为2区（开关频率低于串联谐振频率）。

在最大增益时用开环扫频得到波特图：

可见功率级初始相位为180度（PWM初始相位为0，补偿器为负反馈）：

例如，将穿越频率设置为4k，从功率极波特图中读出该频率下的增益和相位分别为3.59和16.94，然后再通过K因子计算出补偿器参数（从波特图中可看到50k左右有右半平面零点，穿越频率应低于其1/3位置）。

将K因子公式编辑入F11窗口，写入从功率级波特图中获取的期望穿越频率fc处的Gfc，PS，再根据期望的相位裕度PM，即可求出各参数。如下：

将仿真从开环改为闭环，并进行AC分析。

为了避免逻辑混乱，这里使用的NCP1397VCO方案，后续再介绍其工作原理。若用L6599VCO，其相位相差180度。

得到波特图：

从波特图可见穿越频率与相位裕量完全符合设计预期。

从仿真器可以查看各参数计算结果:

两分钟搞定仿真环路设计，而且非常方便移植。

补偿器波特图：

因为使用的K因子法，在fc处刚好是相位提升的最高点。

下面逐一分析k因子的使用及传递函数与k因子公式推导。

1、LLC补偿器相位提升要如何计算

因为功率极在4k时相位为16.94°，而论文说了LLC本身为负反馈（初始相位为180°），其补偿器为正反馈（初始相位为-90°）。而相位裕度为穿越频率处与0度的差值，如果要求相位裕度为45°，那么加起来就是：

-16.94° 180°-90° 45°=118.06°

PM(期望相位裕度)、PS(穿越频率处功率级相位)。boost(需提升相位)。即

boost=PM-PS 90°

很多资料K因子都是boost=PM-PS-90°，为什么会出现这样的差异，就是因为LLC补偿器使用的正反馈，本身少了负号（arg(-1)=180°）,导致初始相位差了180度。

2、如何选择补偿器类型并推导传递函数

提升相位超过90度需要使用3P2Z即三型补偿。三型补偿有隔离型和非隔离型，这里使用最简单的OPA非隔离型。

如下图：

传递函数推导即在s域对运放负反馈化简：

标准形式即为：

因为该结果为负反馈，所以需要在仿真上增加了相位取反（U4），即抵消负号。

3、什么是K因子

K因子的穿越频率分布在零点和极点的几何平均值处（两个零点相等，两个极点也相等），即

为什么呢？因为这样放置的零极点使得相位提升在fc处最大，如下图：

图片来源：《开关电源控制环路设计》——BASSO

4、k值与boost关系推导

传递函数在fc处有：

还要补上正反馈的初始相位滞后的90度，得：

很多资料上有平方根号，其实是一样的。

其他类型补偿器k因子也是这样推导的，手动放置零极点也需要这样推导。

5、各电阻电容如何求解

已知R1，fc，fp12，fz12，G，所以在fc穿越频率处的增益为：

G为在fc处需要提升的增益。

由此可求得R2：

求得R2后可依次求得：

6、公式推导完成，代入参数计算

可见计算结果与仿真器计算一致。

三型补偿K因子公式：

****Voltage loop***********

.VAR fc = 4k

.VAR Gfc = 3.59

.VAR PS = 16.94

.VAR PM = 45

.VAR boost = PM-PS 90

.VAR G = 10^(-Gfc/20)

.VAR k = tan((boost/4 45)*(pi/180))

.VAR fz1 = fc/k

.VAR fz2 = fc/k

.VAR fp1 = k*fc

.VAR fp2 = k*fc

.VAR C2 = 1/(2*pi*fc*G*R1)

.VAR C1 = C2*(k^2-1)

.VAR R2 = K/(2*pi*fc*C1)

.VAR R3 = R1/(k^2-1)

.VAR C3 = 1/(2*pi*fc*k*R3)

.VAR wp0 = 1/(R1*(C1 C2))

.VAR wp1 = 1/(R2*((C1*C2)/(C1 C2)))

.VAR wp2 = 1/(R3*C3)

.VAR wz1 = 1/(R2*C1)

.VAR wz2 = 1/((R1 R3)*C3)

.VAR G0 = R2/(R1*C1/(C1 C2))

.VAR fp0 = wp0/(2*pi)

.VAR fp1 = wp1/(2*pi)

.VAR fp2 = wp2/(2*pi)

.VAR fz1 = wz1/(2*pi)

.VAR fz2 = wz2/(2*pi)

将以上公式代入simplis即可实现快速仿真，只需要更改前4行。

实际情况中K因子法有很多局限性，比如隔离型环路中K因子求得的极点与光耦的极点不一定能重合，这时候就需要手动放置，然后再计算其他零极点位置，后续分享。

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