基础理论知识统计能量若干参数的确定

对复杂结构的振动及声学动力学问题，传统的解法是：

• 从弹性力学、振动力学和波动声学出发，列出各振动结构的振动方程以及与结构连接方式相对应的边界条件，解出振动速度或者声压；

• 直接利用数值计算方法计算（例如有限元法、边界元法等）。

这些方法着重分析振动、声场耦合的详细过程以及描述各个模态的波动情况。

但随着结构（声场）的复杂、边界条件的增多，特别是随着结构（声场）频率的增高，波动模式增多后，利用这些方法进行计算非常困难。

统计能量分析基本概念

统计能量分析（Statistical Energy Analysis，简记为 SEA）是研究复杂结构系统声学动力学问题的有效方法之一，它的提出与发展为结构噪声与振动（特别是高频振动）的分析开辟了广阔的前景。

• “统计”意义是指允许有较粗略的系统模型系数，也就是说所研究的系统对象是从用随机参数描述的总体中抽取出来的。这样就可以较快地提供复杂系统的声振环境预示。

• “能量”的含义是用能量描述各种动力学子系统的状态，使用功率流平衡方程描述子系统间的相互作用关系。

使用能量作为统计能量分析中独立的动力学变量，就可统一处理结构和流体声场间的耦合动力学问题，从而沟通了传统机械振动与声学间的联系。在统计能量分析中先要进行子系统的能量预示，然后再转换成所需要的振动级、声压级等参数。

统计能量分析起源于航空航天工业并经过了三十多年的发展历程，并成功地应用于船舶工业。如今正被用作：

• 范围广泛的噪声与振动问题的预测模型；

• 对噪声和振动控制进行优化。

统计能量分析把复杂系统划分为不同的模态群，并从统计意义上把大系统分解成若干个便于分析的、独立的子系统，而不是逐个精确地确定每个模态的响应。

应用统计能量分析的第一步就是定义出模态群构成的子系统，而且建立的统计能量分析模型必须能够清楚地表示出能量的输入、储存、损耗和传输的特征。

统计能量分析模块化方法要用三个结构参数：

• 子系统的模态密度（每Hz中的模态数，类似于热力学模型中的热容量）；

• 子系统的内部损耗因子，它与结构阻尼和声辐射阻尼引起的能量损失有关；

• 结合点的耦合损耗因子，代表传过不连续结构（例如凸缘、壁厚的阶跃变化、结构—声学容积的界面等）的能量损失。

模态密度

模态密度n(f)定义为单位频率(1Hz)内的模态数目

 1

弯曲振动梁

式中：L是梁长，A是梁的横截面面积，ρ是材料密度，EI是梁的抗弯的刚度。

 2

对于弯曲振动平板

式中：S为平板的表面积；h为厚度；

是平板的纵波速度，v为泊松比。

从上式可看出，平板的模态密度与频率f 无关。

 3

加筋板

式中：

h1为板的平均厚度（包括加强筋）。

圆柱壳的动态特性与环频率有关，它定义为纵向波波长等于圆柱壳周长时的频率。在环频率以上，圆柱壳的模态密度和动态特性与平板的相同。

圆柱壳模态密度的半经验近似公式与环频率有关：

(1) 当f/fr ≤0.48时

(2) 当0.48< f/fr ≤0.83时

(3) 当 f/fr >0.83时

式中，S、h分别为圆柱壳的表面积、厚度，F为带宽因子：对1/3倍频程，F=1.122，对倍频程，F=1.414。

 4

对三维声场

式中，A是容积，V是总表面积，大的声容积n(f)的通常由第一项来逼近。

根据统计能量分析模型中每个子系统模态密度n(f)的大小或带宽Δf内振型数N(N＝n(f)Δf )的多少，可把所研究对象的频率范围划分为低频区、高频区和中频区：

• 当N≤1时，定义为低频区；

• 当N≥5时，定义为高频区；

• 当1<N<5时，定义为中频区。

模态法和有限元法适用于解决低频区系统动力学问题，统计能量分析适用于解决高频区。

内部损耗因子

子系统的内损耗因子是三种形式阻尼的线性和：

ηs是子系统本身材料内摩擦构成的结构损耗因子，ηrad是与声辐射阻尼有关的损耗因子，ηb是子系统边界连接阻尼构成的损耗因子。

在实际工程中，有如下简化公式：

• 子系统刚性联接时，ηb<ηs，此时ηi=ηs ηrad；

• 当子系统为具有高辐射比σ的轻质结构时，ηs<ηrad，此时ηi≈ηrad。当不是轻质结构时，ηi≈ηs。当f>f0（板的临界频率）或f>fr（圆柱壳环频率）时，σ=1，ηrad→0，此时ηi≈ηs。

在非常低的频率区域，ηi中以ηs为主；在低频和中频区域，ηi中以ηrad为主；在高频区域，ηi中又以ηs为主。这说明内部损耗因子的下限是结构损耗因子ηs。

表1

分析表明，损耗因子不大于0.1时，不同阻尼机理引起系统响应的差别是非常小的。

经验表明，损耗因子10%的误差，将导致响应估计1dB的误差；损耗因子100%的误差，将导致响应估计3dB的误差。

内部损耗因子大部分来自实验结果。略去声辐射影响后，板的内部损耗因子为：

实际上，考虑声辐射后内部损耗因子要比上式决定的数值大一些。

另处，一般情况下可以认为随板厚增加也增加，上式是从1mm厚的板的实验中得到的。

对自由阻尼层复合结构，可用下式计算复合结构的损耗因子：

式中，η2为阻尼层的损耗因子，E2，h2，b2为阻尼层的杨氏模量，厚度及宽度；E1，I1为基本结构的杨氏模量及截面惯性矩；H21为二者中性轴距离。

对约束阻尼层复合结构，其最大损耗因子为：

式中，η2为阻尼层的损耗因子，E2，h2，b2为阻尼层的杨氏模量，厚度及宽度；E1，I1为基本结构的杨氏模量及截面惯性矩；H21为二者中性轴距离。

梁和圆柱壳的内部损耗因子与具体结构有关，对于声场，若围壁的平均吸声系数为a，则声场的内部损耗因子为：

式中，S为表面积，V为容积，一般情况下，对于不加吸声材料的围壁：

耦合损耗因子

耦合损耗因子ηij是统计能量分析所特有的，它是两个耦合子系统i 和j 之间的链，即它确定两者间的耦合程度，如ηij<ηi 或η的话，则把子系统说成是弱耦合的。

波传播分析是求得理论耦合损耗因子最成功的方法—直接由波传播系数导出。

对于两个直线连接的耦合结构

式中，L为直线长度，S1第一子系统的表面积，CB1是第一块板中的弯曲波波速，表达式为：

式中，ρs是面积质量，h1是板厚，τ12是从子系统1到系统2的波传播系数：

式中

上式是互为直角耦合平板正入射的传播系数，随机入射时，τ12的表达式为：

式中：x=h1/h2。

如果要求从子系统2到系统1的耦合损耗因子，则据互易性关系式为：

结构一声场耦合损耗因子较为容易估算，当结构与一个声场耦合时，结构的声辐射损耗因子变成耦合损耗因子：

式中，ρ0是声场密度，ρs是面积质量，σ是结构的幅值比。对于板结构的辐射效率，可用两种公式近似计算。

声场之间的耦合损耗因子为：

式中，V是子系统的体积，A是两个声场的接触面积。

一般耦合损耗因子与连接的几何特性、连接系统的物理属性以及传递波相对于连接的入射角有关。

→统计能量分析原理及其应用文档最普遍的理论估计耦合损耗因子的方法是解除连接，然后用拥有同样几何特性的连接的半无限的结构代替原有限结构。

此方法在一般的情况下都是适用的，因为在高频，当很多模态被激发出来后，有限结构的平均输入阻抗近似等于半无限结构的输入阻抗。

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