软聚类算法模糊聚类 (Fuzzy Clustering)
前言
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在介绍模糊聚类之前,我们先简单地列举一下聚类算法的常见分类:
- 硬聚类 (Hard Clustering)
- Connectivity-based clustering (Hierarchical Clustering)
- Centroid-based Clustering (k-means clustering)
- Distribution-based Clustering (Gaussian Mixture Model)
- Density-based Clusterin (DBSCAN)
- 软聚类 (Soft Clustering)
- Fuzzy Clustering
我们之前听说的大部分聚类算法均为硬聚类,即要求每个数据点只能属于一个特定的簇,scikit-learn 中有关于常见硬聚类算法的可视化展示,可供参考:
不同于硬聚类,软聚类放松了限制,即允许数据点可以同时属于多个簇。接下来要介绍的模糊聚类即为一种常见的软聚类算法。
模糊聚类
模糊聚类通常用一个向量来表示一个数据点的归属,向量中哪个维度的数值更大,意味着该数据点距离该维度对应簇更近,也可以理解为是归属于该簇的概率越大。
以 Fuzzy c-means (FCM) 聚类算法为例,其过程与 k-means 非常相似:
- 选择 C C C 作为簇个数
- 随机赋予每个点归属于各个簇的概率向量 { w i } i = 1 N {\{\boldsymbol{w}_i\}}_{i=1}^N {wi}i=1N
- 迭代至收敛
- 重新计算每个簇的簇中心 { c k } k = 1 C {\{\boldsymbol{c}_k\}}_{k=1}^C {ck}k=1C
- 重新计算每个点归属于各个簇的概率向量 { w i } i = 1 N {\{\boldsymbol{w}_i\}}_{i=1}^N {wi}i=1N
簇中心 c k \boldsymbol{c}_k ck 计算式如下:
c k = ∑ i = 1 N w i , k m x i ∑ i = 1 N w i , k m , \boldsymbol{c}_k=\frac{\sum_{i=1}^N w_{i,k}^m \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^N w_{i,k}^m }, ck=∑i=1Nwi,km∑i=1Nwi,kmxi,
其中 m ∈ ( 1 , ∞ ) m\in (1,\infty) m∈(1,∞) 为超参,控制聚类的模糊程度,其数值越大,聚类结果越模糊,其数组越逼近 1 1 1, 其聚类效果越接近 k-means。
数据点 x i \boldsymbol{x}_i xi 的概率向量 w i \boldsymbol{w}_i wi 计算式如下:
w i , k = 1 ∑ j = 1 C ( ∥ x i − c k ∥ ∥ x i − c j ∥ ) 2 m − 1 , w_{i,k}=\frac{1}{\sum_{j=1}^C \left(\frac{\left\|\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{c}_k\right\|}{\left\|\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{c}_j\right\|}\right)^{\frac{2}{m-1}}}, wi,k=∑j=1C(∥xi−cj∥∥xi−ck∥)m−121,
其满足 ∑ k = 1 C w i , k = 1 \sum_{k=1}^C w_{i,k}=1 ∑k=1Cwi,k=1。FCM 整个聚类过程想要最小化的目标函数如下所示:
J ( W , C ) = ∑ i = 1 N ∑ k = 1 C w i , k m ∥ x i − c k ∥ 2 . J(\boldsymbol{W}, \boldsymbol{C})=\sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^C w_{i,k}^m\left\|\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{c}_k\right\|^2. J(W,C)=i=1∑Nk=1∑Cwi,km∥xi−ck∥2.
参考资料
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