数据结构--二叉树

前言

        我相信很多朋友跟我一样，最近在疲惫的学习状态下有时会产生效率低下，注意力不集中的情况，随着就是学习进度缓慢，知识点掌握不牢靠，俗称半吊子，学习任务没有完成时又会恶性循环。我建议的是在疲惫下坚持，通过减少一些任务量，又通过提高效率获取更多休息时间，最后给自己放个小假，放空一下自己的疲惫灵魂。不要在疲惫的情况下恶性循环，在每次进行学习尽量投入。我想通过一句名言激励每位朋友：平凡的脚步也能够走完伟大的行程。

        该文章主要是围绕着二叉树的进行讲解，首先要理解树的概念和结构，二叉树又是树中特别重要的类型。许多实际问题抽象出来的数据结构往往是二叉树形式，即使是一般的树也能简单地转换为二叉树，而且二叉树的存储结构及其算法都较为简单，因此二叉树显得特别重要。因为他的结构与算法比较简单在生活应用中也会大量使用到，富国沪深：二进制搜索树 -用于许多不断输入/离开数据的搜索应用程序中，二进制空间分区 -几乎在所有3D视频游戏中都使用，以确定需要渲染哪些对象。二进制尝试 -几乎在每个高带宽路由器中用于存储路由器表。堆 -用于实现高效的优先级队列，这些优先级队列又用于调度许多操作系统中的进程，路由器中的服务质量以及A * （用于AI应用程序（包括机器人和视频游戏）的路径查找算法）。

目录

前言

树概念及结构   

树的概念    

 树的相关概念

树的表示

 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二叉树概念及结构 

概念

 特殊的二叉树：

 二叉树的性质

二叉树的存储结构

二叉树的顺序结构及实现

堆的实现

堆的代码实现

堆的应用

 TOP-K问题

二叉树链式结构的实现 

前置说明

二叉树的遍历 

层序遍历

判断二叉树是否是完全二叉树

二叉树代码实现

二叉树基础练习

单值二叉树

检查两颗树是否相同

对称二叉树

 二叉树的前序遍历

另一棵树的子树

---

树概念及结构   

树的概念    

        树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、 T2、……、 Tm，其中每一个集合Ti(1 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 因此，树是递归定义的。

        

 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图： A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图： B、 C、 H、 I...等节点为叶节点 非终端

节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图： D、 E、 F、 G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图： A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图： B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图： B、 C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H、 I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间 的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法 等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;

struct Node

{ struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点

struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点

DataType _data ; // 结点中的数据域

}

 树在实际中的运用（表示文件系统的目录树结构）

二叉树概念及结构 

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1 . 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

 从上图可以看出：

1 . 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 特殊的二叉树：

1 . 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一个一个地对 应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种殊特的完全二叉树。

 二叉树的性质

1 . 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 ＝ ＋ 1

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度， h= . (ps： 是log以2为底， n 1为对数)

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：

1 . 若i>0， i位置节点的双亲序号： (i-1)/2； i=0， i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i 1，左孩子序号： 2i 1， 2i 1>=n否则无左孩子

3. 若2i 2，右孩子序号： 2i 2， 2i 2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1 . 顺序存储

        顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

 2. 链式存储

        二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程 学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

typedef int BTDataType;

// 二叉链

struct BinaryTreeNode

{

struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子

struct BinTreeNode* _pRight ; // 指向当前节点右孩子

BTDataType _data ; // 当前节点值域

}

// 三叉链

struct BinaryTreeNode

{ struct BinTreeNode* _pParent ; // 指向当前节点的双亲

struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子

struct BinTreeNode* _pRight ; // 指向当前节点右孩子

BTDataType _data ; // 当前节点值域

}；

二叉树的顺序结构及实现

二叉树的顺序结构

        普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。

堆的概念及结构

        如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足： 且 = 且 >= ) i = 0， 1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

        堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；

        堆总是一棵完全二叉树。

堆的实现

堆向下调整算法

        现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整 成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

int array [ ] = {2,9, 7, 8, 5, 0, 1,6, 2, 4, 3} ; //删除9

 堆的创建

        下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算 法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的 子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。

向上调整构建堆： 

int a [ ] = {1, 5, 3, 8, 7, 6} ; //插入排序

向下调整建堆：

int a [ ] = {6,8,1,9,3,0,7,2,4,5} ;

堆的插入

        先插入一个1 0到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

int a [ ] = { 8, 7, 6,5,1,3} ;  //插入9

堆的删除 

        删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调 整算法。

int array [ ] = {9, 8, 7, 6,5, 0, 1, 2, 4, 3} ;

建堆时间复杂度（向下与向上调整构建对比）

        因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明(时间复杂度本来看的 就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：

调整次数=每一层节点数*这一层节点最坏向下调整次数

 如果是向上调整的话时间复杂就会交大：

堆的代码实现

        这里是用数组实现二叉树的堆，物理结构与逻辑结构是不同的，所以实现代码的时候我们将数组已划分成二叉树数形式来进行逻辑上编写。

例如：int array [ ] = {2,9, 7, 8, 5, 0, 1,6, 2, 4, 3}

 Heap.h

1.  
   #include <stdio.h>
2.  
   #include <stdlib.h>
3.  
   #include <assert.h>
4.  
   #include <stdbool.h>
5.  
    
6.  
   typedef int HPDataType;
7.  
   typedef struct Heap
8.  
   {
9.  
   HPDataType* _a;
10.  
    int _size;
11.  
    int _capacity;
12.  
    }Heap;
13.  
     
14.  
    // 堆的构建
15.  
    void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n);
16.  
    // 堆的销毁
17.  
    void HeapDestory(Heap* hp);
18.  
    // 堆的插入
19.  
    void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
20.  
    // 堆的删除
21.  
    void HeapPop(Heap* hp);
22.  
    // 取堆顶的数据
23.  
    HPDataType HeapTop(Heap* hp);
24.  
    // 堆的数据个数
25.  
    int HeapSize(Heap* hp);
26.  
    // 堆的判空
27.  
    bool HeapEmpty(Heap* hp);
28.  
     
29.  
    // TopK问题：找出N个数里面最大/最小的前K个问题。
30.  
    // 比如：未央区排名前10的泡馍，西安交通大学王者荣耀排名前10的韩信，全国排名前10的李白。等等问题都是Topk问题，
31.  
    // 需要注意：
32.  
    // 找最大的前K个，建立K个数的小堆
33.  
    // 找最小的前K个，建立K个数的大堆
34.  
    void PrintTopK(int* a, int n, int k);
35.  
    void TestTopk();
36.  
     
37.  
    //打印堆
38.  
    void HeapPrint(Heap* hp);

Heap.c

1.  
   #include "Heap.h"
2.  
    
3.  
   // 堆的构建
4.  
   void HeapCreate(Heap* hp, HPDataType* a, int n)
5.  
   {
6.  
   assert(hp);
7.  
   assert(a);
8.  
   hp->_a = NULL;
9.  
   hp->_capacity = hp->_size=0;
10.  
    for (int i = 0; i < n; i )
11.  
    {
12.  
    HeapPush(hp, a[i]);
13.  
    }
14.  
     
15.  
    }
16.  
     
17.  
    //堆的销毁
18.  
    void HeapDestory(Heap* hp)
19.  
    {
20.  
    assert(hp);
21.  
    free(hp->_a);
22.  
    hp->_a = NULL;
23.  
     
24.  
    hp->_capacity = hp->_size =0;
25.  
    }
26.  
     
27.  
    //交换
28.  
    void swap(HPDataType* p, HPDataType* c)
29.  
    {
30.  
    HPDataType temp = *p;
31.  
    *p = *c;
32.  
    *c = temp;
33.  
    }
34.  
     
35.  
    //向上调整
36.  
    void AdjustUp(HPDataType* a, HPDataType child)
37.  
    {
38.  
    assert(a);
39.  
    HPDataType parent = (child - 1) / 2;
40.  
    while (child > 0)
41.  
    {
42.  
    if (a[parent] > a[child])
43.  
    {
44.  
    swap(&a[parent], &a[child]);
45.  
    child=parent;
46.  
    parent = (child - 1) / 2;
47.  
    }
48.  
    else
49.  
    {
50.  
    break;
51.  
    }
52.  
    }
53.  
     
54.  
    }
55.  
     
56.  
    // 堆的插入
57.  
    void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
58.  
    {
59.  
    assert(hp);
60.  
    if (hp->_capacity == hp->_size)
61.  
    {
62.  
    HPDataType NewCapacity = hp->_capacity == 0 ? 4 : 2*hp->_capacity;
63.  
    HPDataType* tem = (HPDataType*)realloc(hp->_a, sizeof(HPDataType)*NewCapacity);
64.  
    if (tem == NULL)
65.  
    {
66.  
    perror("realloc fail");
67.  
    exit(-1);
68.  
    }
69.  
    hp->_a = tem;
70.  
    hp->_capacity = NewCapacity;
71.  
    }
72.  
    hp->_a[hp->_size ] = x;
73.  
     
74.  
    AdjustUp(hp->_a, hp->_size - 1);
75.  
    }
76.  
     
77.  
    //打印堆
78.  
    void HeapPrint(Heap* hp)
79.  
    {
80.  
    for (int i = 0; i < hp->_size; i)
81.  
    {
82.  
    printf("%d ", hp->_a[i]);
83.  
    }
84.  
    printf("\n");
85.  
    }
86.  
     
87.  
     
88.  
    //向下调整
89.  
    void AdjustDown(HPDataType* a, HPDataType n, HPDataType parent)
90.  
    {
91.  
    assert(a);
92.  
    HPDataType minchild = 2*parent 1;
93.  
    while (minchild < n)
94.  
    {
95.  
    if (minchild 1 < n&&a[minchild 1]<a[minchild])
96.  
    {
97.  
    minchild ;
98.  
    }
99.  
     
100.  
     if (a[parent]>a[minchild])
101.  
     {
102.  
     swap(&a[parent], &a[minchild]);
103.  
     parent = minchild;
104.  
     minchild = 2 * parent 1;
105.  
     }
106.  
     else
107.  
     break;
108.  
     }
109.  
      
110.  
     }
111.  
     // 堆的删除
112.  
     void HeapPop(Heap* hp)
113.  
     {
114.  
     assert(hp);
115.  
     assert(!HeapEmpty(hp));
116.  
      
117.  
     swap(&hp->_a[0], &hp->_a[hp->_size-1]);
118.  
     hp->_size--;
119.  
      
120.  
     AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
121.  
     }
122.  
      
123.  
     // 堆的判空
124.  
     bool HeapEmpty(Heap* hp)
125.  
     {
126.  
     assert(hp);
127.  
      
128.  
     return hp->_size==0;
129.  
     }
130.  
      
131.  
     // 取堆顶的数据
132.  
     HPDataType HeapTop(Heap* hp)
133.  
     {
134.  
     assert(hp);
135.  
     assert(!HeapEmpty(hp));
136.  
      
137.  
     return hp->_a[0];
138.  
     }
139.  
      
140.  
     // 堆的数据个数
141.  
     int HeapSize(Heap* hp)
142.  
     {
143.  
     assert(hp);
144.  
     assert(!HeapEmpty(hp));
145.  
      
146.  
     return hp->_size;
147.  
     }
148.  
      

Test.c

1.  
   #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
2.  
   #include "Heap.h"
3.  
    
4.  
   //测试
5.  
   void testHeap()
6.  
   {
7.  
   HPDataType a[4] = { 1, 5, 7, 8 };
8.  
   Heap hp;
9.  
   HeapCreate(&hp,a, 4);
10.  
    HeapPush(&hp,15);
11.  
    HeapPush(&hp, 17);
12.  
    HeapPrint(&hp);
13.  
    HeapPop(&hp);
14.  
    HeapPrint(&hp);
15.  
    }
16.  
     
17.  
    int main()
18.  
    {
19.  
    testHeap();
20.  
     
21.  
    return 0;
22.  
    }

堆的应用

排序

        通过上面对向上调整和向下调整的时间复杂度进行对比，我们发现向下调整是更加节省时间，我们选择使用向下调整建堆。那么在升序或者降序的时候我们该选择建大堆还是建小堆呢？

 当我们以为用小根堆然后进行对它排序会更加节约时间，实际上我们发现是走不通的。所以我们应该换种思路：

建堆

 升序：建大堆                                                                                                                             降序：建小堆

利用堆删除思想来进行排序：

建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。 

 实现代码

1.  
   #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
2.  
   #include <stdio.h>
3.  
   #include <assert.h>
4.  
    
5.  
   void swap(int* p, int* c)
6.  
   {
7.  
   int temp = *p;
8.  
   *p = *c;
9.  
   *c = temp;
10.  
    }
11.  
    void AdjustUp(int* a, int child)
12.  
    {
13.  
    assert(a);
14.  
    int parent = (child - 1) / 2;
15.  
    while (child>0)
16.  
    {
17.  
    if (a[child] < a[parent])
18.  
    {
19.  
    swap(&a[child], &a[parent]);
20.  
    child = parent;
21.  
    parent = (child - 1) / 2;
22.  
    }
23.  
    else
24.  
    {
25.  
    break;
26.  
    }
27.  
    }
28.  
    }
29.  
    void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
30.  
    {
31.  
    assert(a);
32.  
    int minchild = 2*parent 1;
33.  
    while (minchild < n)
34.  
    {
35.  
    if (minchild 1 < n && a[minchild] > a[minchild 1])
36.  
    {
37.  
    minchild ;
38.  
    }
39.  
    if (a[minchild] < a[parent])
40.  
    {
41.  
    swap(&a[minchild], &a[parent]);
42.  
    parent = minchild;
43.  
    minchild = 2 * parent 1;
44.  
    }
45.  
    else
46.  
    break;
47.  
    }
48.  
     
49.  
    }
50.  
     
51.  
    // 对数组进行堆排序
52.  
    void HeapSort(int* a, int n)
53.  
    {
54.  
    向上建小根堆
55.  
    //for (int i = 0; i <n; i )
56.  
    //{
57.  
    // AdjustUp(a, n-1);
58.  
    //}
59.  
     
60.  
    //向下建立小根堆
61.  
    for (int i = (n - 1-1) / 2; i >=0 ; i--)
62.  
    {
63.  
    AdjustDown(a, n,i);
64.  
    }
65.  
     
66.  
    //如何选次小
67.  
    //升序 --建大堆 第一个与最后一个交换 把最后一个不看成堆里的 向下调整
68.  
    //降序 --建小堆
69.  
    int i = 1;
70.  
    while (i < n)
71.  
    {
72.  
    swap(&a[0], &a[n-i]);
73.  
    AdjustDown(a, n-i, 0);
74.  
    i ;
75.  
    }
76.  
     
77.  
    }
78.  
     
79.  
     
80.  
    int main()
81.  
    {
82.  
    int arr[] = { 1, 51, 31, 4, 8, 6, 78,14,16,78 };
83.  
    HeapSort(arr,sizeof(arr)/sizeof(int));
84.  
     
85.  
    int len = sizeof(arr) / sizeof(int);
86.  
    for (int i = 0; i < len; i )
87.  
    {
88.  
    printf("%d ", arr[i]);
89.  
    }
90.  
     
91.  
    return 0;
92.  
    }

演示结果：

 TOP-K问题

TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。

比如：专业前1 0名、世界500强、富豪榜、游戏中前1 00的活跃玩家等。

对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能 数据都不能一下子（指时间短暂或动作迅速）（指时间短暂或动作迅速）全部加载到内存中)。

最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1 . 用数据集合中前K个元素来建堆 前k个最大的元素，则建小堆 前k个最小的元素，则建大堆

2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素

 实现代码

1.  
   #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
2.  
   #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
3.  
   #include <stdio.h>
4.  
   #include <assert.h>
5.  
   #include <stdlib.h>
6.  
    
7.  
   void swap(int* p, int* c)
8.  
   {
9.  
   int temp = *p;
10.  
    *p = *c;
11.  
    *c = temp;
12.  
    }
13.  
    void AdjustUp(int* a, int child)
14.  
    {
15.  
    assert(a);
16.  
    int parent = (child - 1) / 2;
17.  
    while (child>0)
18.  
    {
19.  
    if (a[child] < a[parent])
20.  
    {
21.  
    swap(&a[child], &a[parent]);
22.  
    child = parent;
23.  
    parent = (child - 1) / 2;
24.  
    }
25.  
    else
26.  
    {
27.  
    break;
28.  
    }
29.  
    }
30.  
    }
31.  
    void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
32.  
    {
33.  
    assert(a);
34.  
    int minchild = 2 * parent 1;
35.  
    while (minchild < n)
36.  
    {
37.  
    if (minchild 1 < n&&a[minchild] > a[minchild 1])
38.  
    {
39.  
    minchild ;
40.  
    }
41.  
    if (a[minchild] < a[parent])
42.  
    {
43.  
    swap(&a[minchild], &a[parent]);
44.  
    parent = minchild;
45.  
    minchild = 2 * parent 1;
46.  
    }
47.  
    else
48.  
    break;
49.  
    }
50.  
     
51.  
    }
52.  
     
53.  
    // 对数组进行堆排序
54.  
    void HeapSort(int* a, int n)
55.  
    {
56.  
    向上建小根堆
57.  
    //for (int i = 0; i <n; i )
58.  
    //{
59.  
    // AdjustUp(a, n-1);
60.  
    //}
61.  
     
62.  
    //向下建立小根堆
63.  
    for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
64.  
    {
65.  
    AdjustDown(a, n, i);
66.  
    }
67.  
     
68.  
    //如何选次小
69.  
    //升序 --建大堆 第一个与最后一个交换 把最后一个不看成堆里的 向下调整
70.  
    //降序 --建小堆
71.  
    int i = 1;
72.  
    while (i < n)
73.  
    {
74.  
    swap(&a[0], &a[n - i]);
75.  
    AdjustDown(a, n - i, 0);
76.  
    i ;
77.  
    }
78.  
     
79.  
    }
80.  
     
81.  
    void KOP_K(int* a, int n,int k)
82.  
    {
83.  
    //新建一个堆
84.  
    int* heap = (int*)malloc(sizeof(int)*k);
85.  
    if (heap == NULL)
86.  
    {
87.  
    perror("malloc fail");
88.  
    exit(-1);
89.  
    }
90.  
     
91.  
    //
92.  
    for (int i = 0; i <k; i )
93.  
    {
94.  
    heap[i] = a[i];
95.  
    }
96.  
     
97.  
    for (int i = k; i < n; i )
98.  
    {
99.  
    if (a[i]>heap[0])
100.  
     {
101.  
     heap[0] = a[i];
102.  
     AdjustDown(heap, k, 0);
103.  
     }
104.  
     }
105.  
      
106.  
     for (int i = 0; i < k; i)
107.  
     {
108.  
     printf("%d ", heap[i]);
109.  
     }
110.  
      
111.  
     free(heap);
112.  
     heap = NULL;
113.  
     }
114.  
      
115.  
     int main()
116.  
     {
117.  
     int arr[] = { 1, 51, 31, 4, 8, 6, 78, 14, 16, 78 };
118.  
     int len = sizeof(arr) / sizeof(int);
119.  
     HeapSort(arr,len );
120.  
      
121.  
     int k = 3;
122.  
     KOP_K(arr,len,k);
123.  
      
124.  
     return 0;
125.  
     }

演示结果：

二叉树链式结构的实现 

前置说明

        在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二 叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树 操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

1.  
   BTNode* CreateTree()
2.  
   {
3.  
   BTNode* n1 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
4.  
   assert(n1);
5.  
   BTNode* n2 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
6.  
   assert(n2);
7.  
   BTNode* n3 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
8.  
   assert(n3);
9.  
   BTNode* n4 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
10.  
    assert(n4);
11.  
    BTNode* n5 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
12.  
    assert(n5);
13.  
    BTNode* n6 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
14.  
    assert(n6);
15.  
    BTNode* n7 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
16.  
    assert(n7);
17.  
     
18.  
    n1->_data = 1;
19.  
    n2->_data = 2;
20.  
    n3->_data = 3;
21.  
    n4->_data = 4;
22.  
    n5->_data = 5;
23.  
    n6->_data = 6;
24.  
    n7->_data = 7;
25.  
     
26.  
    n1->_left = n2;
27.  
    n1->_right = n4;
28.  
    n2->_left = n3;
29.  
    n2->_right = NULL;
30.  
    n4->_left = n5;
31.  
    n4->_right = n6;
32.  
    n3->_left = NULL;
33.  
    n3->_right = NULL;
34.  
    n5->_left = NULL;
35.  
    n5->_right = NULL;
36.  
    n6->_left = NULL;
37.  
    n6->_right = NULL;
38.  
     
39.  
    n3->_right = n7;
40.  
    n7->_left = NULL;
41.  
    n7->_right = NULL;
42.  
     
43.  
    return n1;
44.  
    }

二叉树的遍历 

        学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉 树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

 

 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

         由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、 L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为 根、根的左子树和根的右子树。 NLR、 LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

// 二叉树前序遍历

void PreOrder( BTNode* root ) ;

// 二叉树中序遍历

void InOrder( BTNode* root ) ;

// 二叉树后序遍历

void PostOrder( BTNode* root ) ; 

 前序遍历递归图解：

层序遍历

        层序遍历最主要的通过队列(先进先出)的方式进行遍历，通过上一层的节点出的时候带入下一层节点。

// 层序遍历

void LevelOrder( BTNode* root ) ;

判断二叉树是否是完全二叉树

        这里我们还是通过层序遍历进行判断，通过一层一层的走，遇到空之后，后续层序不能有非空，如果有非空就不是完全二叉树。

错误展示：

 

 

 正确展示：

 

// 判断二叉树是否是完全二叉树

int BinaryTreeComplete(BTNode* root)

二叉树代码实现

        实现层序遍历会用到队列的实现，这里就不用写出来了，如果自己需要就大家就可以看一下数据结构--栈，队列。

BinaryTree.h

1.  
   #include <stdio.h>
2.  
   #include <assert.h>
3.  
   #include <stdlib.h>
4.  
    
5.  
   typedef int BTDataType;
6.  
   typedef struct BinaryTreeNode
7.  
   {
8.  
   BTDataType _data;
9.  
   struct BinaryTreeNode* _left;
10.  
    struct BinaryTreeNode* _right;
11.  
    }BTNode;
12.  
     
13.  
    // 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
14.  
    BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi);
15.  
    // 二叉树销毁
16.  
    void BinaryTreeDestory(BTNode* root);
17.  
    // 二叉树节点个数
18.  
    int BinaryTreeSize(BTNode* root);
19.  
    // 二叉树叶子节点个数
20.  
    int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root);
21.  
    // 二叉树第k层节点个数
22.  
    int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k);
23.  
    // 二叉树查找值为x的节点
24.  
    BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x);
25.  
    // 二叉树前序遍历
26.  
    void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
27.  
    // 二叉树中序遍历
28.  
    void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
29.  
    // 二叉树后序遍历
30.  
    void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);
31.  
    // 层序遍历
32.  
    void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root);
33.  
    // 判断二叉树是否是完全二叉树
34.  
    int BinaryTreeComplete(BTNode* root);

BinaryTree.c

1.  
   #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
2.  
   #include "BinaryTree.h"
3.  
   #include "Queue.h"
4.  
    
5.  
   // 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
6.  
   BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
7.  
   {
8.  
   BTNode* tem = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
9.  
   if (a==NULL)
10.  
    return NULL;
11.  
     
12.  
    if (a[*pi] == "#" || n >= *pi)
13.  
    {
14.  
    (*pi) ;
15.  
    return NULL;
16.  
    }
17.  
    tem->_data = a[*pi];
18.  
    (*pi) ;
19.  
    tem->_left = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
20.  
    tem->_right = BinaryTreeCreate(a, n, pi);
21.  
     
22.  
    return tem;
23.  
    }
24.  
     
25.  
    // 二叉树前序遍历
26.  
    void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
27.  
    {
28.  
    if (root == NULL)
29.  
    {
30.  
    printf("NULL ");
31.  
    return;
32.  
    }
33.  
    printf("%d ", root->_data);
34.  
    BinaryTreePrevOrder(root->_left);
35.  
    BinaryTreePrevOrder(root->_right);
36.  
     
37.  
    }
38.  
     
39.  
    // 二叉树中序遍历
40.  
    void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
41.  
    {
42.  
     
43.  
    if (root == NULL)
44.  
    {
45.  
    printf("NULL ");
46.  
    return;
47.  
    }
48.  
    BinaryTreePrevOrder(root->_left);
49.  
    printf("%d ", root->_data);
50.  
    BinaryTreePrevOrder(root->_right);
51.  
    }
52.  
     
53.  
    // 二叉树后序遍历
54.  
    void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
55.  
    {
56.  
     
57.  
    if (root == NULL)
58.  
    {
59.  
    printf("NULL ");
60.  
    return;
61.  
    }
62.  
    BinaryTreePrevOrder(root->_left);
63.  
    BinaryTreePrevOrder(root->_right);
64.  
    printf("%d ", root->_data);
65.  
    }
66.  
     
67.  
    // 二叉树节点个数
68.  
    int BinaryTreeSize(BTNode* root)
69.  
    {
70.  
    if (root == NULL)
71.  
    return 0;
72.  
     
73.  
    return BinaryTreeSize(root->_left) BinaryTreeSize(root->_left) 1;
74.  
    }
75.  
     
76.  
    // 二叉树叶子节点个数
77.  
    int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
78.  
    {
79.  
    if (root == NULL)
80.  
    return 0;
81.  
    if (root->_left == NULL&&root->_right==NULL)
82.  
    return 1;
83.  
    return BinaryTreeLeafSize(root->_left) BinaryTreeLeafSize(root->_right);
84.  
    }
85.  
     
86.  
    // 二叉树第k层节点个数
87.  
    int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
88.  
    {
89.  
    assert(k > 0);
90.  
    if (root == NULL)
91.  
    return 0;
92.  
    if (k == 1)
93.  
    return 1;
94.  
     
95.  
    return BinaryTreeLevelKSize(root->_left, k - 1) BinaryTreeLevelKSize(root->_right, k - 1);
96.  
    }
97.  
     
98.  
    // 二叉树查找值为x的节点
99.  
    BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
100.  
     {
101.  
     BTNode* left, *right;
102.  
     if (root == NULL)
103.  
     return NULL;
104.  
     if (root->_data == x)
105.  
     return root;
106.  
     left= BinaryTreeFind(root->_left, x);
107.  
     if (left)
108.  
     return left;
109.  
     right = BinaryTreeFind(root->_right, x);
110.  
     if (right)
111.  
     return right;
112.  
      
113.  
     return NULL;
114.  
     }
115.  
      
116.  
     // 二叉树销毁
117.  
     void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
118.  
     {
119.  
     if (root == NULL)
120.  
     return ;
121.  
     BinaryTreeDestory(root->_left);
122.  
     BinaryTreeDestory(root->_right);
123.  
     free(root);
124.  
     }
125.  
      
126.  
     // 层序遍历
127.  
     void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
128.  
     {
129.  
     Queue q;
130.  
     QueueInit(&q); //初始化队列
131.  
     if (root != NULL)
132.  
     QueuePush(&q, root);//将二叉树根节点入队
133.  
     while (!QueueEmpty(&q))
134.  
     {
135.  
     BTNode* front = QueueFront(&q);//获取对头元素
136.  
     QueuePop(&q);//队头出队列
137.  
     printf("%d", front->_data);//打印
138.  
      
139.  
     if (front->_left)
140.  
     QueuePush(&q, front->_left);//二叉树做左不为空，进入队列
141.  
     if (front->_right)
142.  
     QueuePush(&q, front->_right);//二叉树做右不为空，进入队列
143.  
      
144.  
     }
145.  
     printf("\n");
146.  
      
147.  
     QueueDestroy(&q);//销毁队列
148.  
     }
149.  
      
150.  
     // 判断二叉树是否是完全二叉树
151.  
     int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
152.  
     {
153.  
     Queue q;
154.  
     QueueInit(&q);
155.  
     if (root != NULL)
156.  
     QueuePush(&q, root);
157.  
     while (!QueueEmpty(&q))//通过层序遍历入队列
158.  
     {
159.  
     BTNode* front = QueueFront(&q);
160.  
     QueuePop(&q);
161.  
      
162.  
     if (front == NULL)
163.  
     break;
164.  
      
165.  
     QueuePush(&q, front->_left);
166.  
     QueuePush(&q, front->_right);
167.  
     }
168.  
      
169.  
     while (!QueueEmpty(&q))//通过出队，如果后续层序有非空为false
170.  
     {
171.  
     BTNode* front = QueueFront(&q);
172.  
     QueuePop(&q);
173.  
     if (front != NULL)
174.  
     {
175.  
     QueueDestroy(front);
176.  
     return false;
177.  
     }
178.  
     }
179.  
     QueueDestroy(&q);
180.  
     return true;
181.  
     }

Test.c

1.  
   #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
2.  
   #include "BinaryTree.h"
3.  
   #include "Queue.h"
4.  
    
5.  
   BTNode* CreateTree()
6.  
   {
7.  
   BTNode* n1 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
8.  
   assert(n1);
9.  
   BTNode* n2 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
10.  
    assert(n2);
11.  
    BTNode* n3 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
12.  
    assert(n3);
13.  
    BTNode* n4 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
14.  
    assert(n4);
15.  
    BTNode* n5 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
16.  
    assert(n5);
17.  
    BTNode* n6 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
18.  
    assert(n6);
19.  
    BTNode* n7 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
20.  
    assert(n7);
21.  
     
22.  
    n1->_data = 1;
23.  
    n2->_data = 2;
24.  
    n3->_data = 3;
25.  
    n4->_data = 4;
26.  
    n5->_data = 5;
27.  
    n6->_data = 6;
28.  
    n7->_data = 7;
29.  
     
30.  
    n1->_left = n2;
31.  
    n1->_right = n4;
32.  
    n2->_left = n3;
33.  
    n2->_right = NULL;
34.  
    n4->_left = n5;
35.  
    n4->_right = n6;
36.  
    n3->_left = NULL;
37.  
    n3->_right = NULL;
38.  
    n5->_left = NULL;
39.  
    n5->_right = NULL;
40.  
    n6->_left = NULL;
41.  
    n6->_right = NULL;
42.  
     
43.  
    n3->_right = n7;
44.  
    n7->_left = NULL;
45.  
    n7->_right = NULL;
46.  
     
47.  
    return n1;
48.  
    }
49.  
     
50.  
    int main()
51.  
    {
52.  
    BTNode* root = CreateTree();
53.  
    BinaryTreePrevOrder(root);
54.  
    printf("\n");
55.  
    BinaryTreeInOrder(root);
56.  
    printf("\n");
57.  
     
58.  
    printf("%d\n", BinaryTreeSize(root));
59.  
     
60.  
    printf("%d\n", BinaryTreeLeafSize(root));
61.  
    printf("%d\n", BinaryTreeLevelKSize(root, 3));
62.  
     
63.  
    BTNode* ret= BinaryTreeFind(root, 4);
64.  
    ret->_data = 8;
65.  
    BinaryTreePrevOrder(root);
66.  
     
67.  
    return 0;
68.  
    }
69.  
     

二叉树基础练习

        为了更加深入学习二叉树，我们通过例题进行练习来加深理解与巩固知识。

单值二叉树

解析：

        我们通过自己检查自己的方法，通过遍历用根节点对每个节点进行判断，如果遍历完了null则正确，如果遍历期间有节点值与根节点值不相等则为错误。

代码：

1.  
   bool isUnivalTree(struct TreeNode* root){
2.  
   if(root==NULL)
3.  
   return true;
4.  
   if(root->left&&root->left->val!=root->val)
5.  
   return false;
6.  
   if(root->right&&root->right->val!=root->val)
7.  
   return false;
8.  
    
9.  
   return isUnivalTree(root->left)&&isUnivalTree(root->right);
10.  
    }

检查两颗树是否相同

解析：

        同时进行对两个二叉树进行遍历，先向左后右，如果遍历完为null，则为true。如果发现两颗数的左值或者右值不相等，则为false。

代码：

1.  
   bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q){
2.  
   if(p==NULL&&q==NULL)
3.  
   return true;
4.  
    
5.  
   if(p==NULL||q==NULL)
6.  
   return false;
7.  
    
8.  
   if(p->val!=q->val)
9.  
   return false;
10.  
     
11.  
    return isSameTree(p->left,q->left)&& isSameTree(p->right,q->right);
12.  
    }

对称二叉树

解析：

        根节点不变，将左右节点重新定义为两个根节点的二叉树，   同时进行对两个二叉树进行遍历，先向左后右，如果遍历完为null，则为true。如果发现两颗数的左值或者右值不相等，则为false。与上述例题2相似极大。

 代码：

1.  
   bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q){
2.  
   if(p==NULL&&q==NULL)
3.  
   return true;
4.  
    
5.  
   if(p==NULL||q==NULL)
6.  
   return false;
7.  
    
8.  
   if(p->val!=q->val)
9.  
   return false;
10.  
     
11.  
    return isSameTree(p->left,q->right)&& isSameTree(p->right,q->left);
12.  
    }
13.  
     
14.  
    bool isSymmetric(struct TreeNode* root){
15.  
    if(root==NULL)
16.  
    return true;
17.  
     
18.  
    return isSameTree(root->left,root->right);
19.  
    }

 二叉树的前序遍历

 解析：

        这个有点不一样的就是需要返回节点值，所以我们前序遍历时就需要用malloc开辟一棵新的二叉树，用根节点作为返回值。

 代码：

1.  
   int TreeSize(struct TreeNode* root)
2.  
   {
3.  
   if(root==NULL)
4.  
   return 0;
5.  
   return TreeSize(root->left) TreeSize(root->right) 1;
6.  
   }
7.  
    
8.  
   void preorder(struct TreeNode* root, int* a,int* pi)
9.  
   {
10.  
    if(root==NULL)
11.  
    return ;
12.  
    a[(*pi) ]=root->val;
13.  
     
14.  
    preorder(root->left,a,pi);
15.  
    preorder(root->right,a,pi);
16.  
    }
17.  
    /**
18.  
    * Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
19.  
    */
20.  
    int* preorderTraversal(struct TreeNode* root, int* returnSize){
21.  
    int n=TreeSize(root);
22.  
    int* tem=(int*)malloc(sizeof(int)*n);
23.  
     
24.  
    int i=0;
25.  
    preorder(root,tem,&i);
26.  
     
27.  
    *returnSize=n;
28.  
    return tem;
29.  
    }

另一棵树的子树

解析：

        通过对root二叉树每一个节点进行遍历，如果有一个节点的所有子节点与subroot二叉树的所有节点都相同，那么则是子树true，相反则不是子树false。

 

 代码:

1.  
   bool isSameTree(struct TreeNode* p, struct TreeNode* q){
2.  
   if(p==NULL&&q==NULL)
3.  
   return true;
4.  
    
5.  
   if(p==NULL||q==NULL)
6.  
   return false;
7.  
    
8.  
   if(p->val!=q->val)
9.  
   return false;
10.  
     
11.  
    return isSameTree(p->left,q->left)&& isSameTree(p->right,q->right);
12.  
    }
13.  
     
14.  
    bool isSubtree(struct TreeNode* root, struct TreeNode* subRoot){
15.  
    if(root==NULL)
16.  
    return false;
17.  
     
18.  
    if(isSameTree(root,subRoot))
19.  
    return true;
20.  
     
21.  
    return isSubtree(root->left, subRoot)|| isSubtree(root->right, subRoot);
22.  
     
23.  
    }

到这里就结束了，关于更多的二叉树知识就需要大家自己去挖掘了，如果有很好的文章也欢迎大家回补作者。

 （全文完）

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