数据结构4-2平衡二叉树AVL树

什么是平衡二叉树？

上面的三个搜索树的表示方法都是按照“字典顺序”比较大小。

不同的结点插入顺序会形成不同的二叉搜索树，那么不同的二叉搜索树的查找效率是不同的，所谓的查找效率我们就称之为一个衡量指标叫平均查找长度

平均查找长度ASL越小越好。(左右子树的结点个数分配的比较均匀、左右子树的高度差不多)

平衡因子是对树的每一个结点来说的，平衡因子是结点左右子树的高度差。

上图中出现了一个错误，就是左子树比右子树的高度高那么高度差是正数，右子树比左子树的高度高那么高度差是负数，加上绝对值就可以了。

接下来看一下平衡二叉树最少结点数和斐波那契序列之间的关系：

这个是数学中给出的，知道就行，不用记住。

但是要知道结点数n和高度h是指数型关系，才能判断出平衡二叉树能否达到我们想要的效果。

平衡二叉树的调整。

我们需要做哪一种旋转就需要看破坏者与被破坏者是哪一种关系。

右右旋转：（RR旋转、右旋转）

破坏者是插入的Nov，被破坏者是Mar(平衡因子>1，平衡二叉树被破坏)，破坏者与被破坏者之间的关系是：破坏者是被破坏者的右子树的右子树，所以做RR旋转。做旋转就是使得这三个不平衡的结点变成平衡的结点，同时要注意一定要满足二叉搜索树的特征。

左左旋转：（LL旋转、右旋转）

破坏者：Apr，被破坏者Mar、May
我们发现有两个被破坏者，我们调整平衡的时候按照从最下面调整平衡，下面调整平衡后，上面的就可能变成平衡的了。
破坏者是被破坏者的左子树的左子树，故做LL旋转。
调整结点：Apr、Aug、Mar
注意调整后的平衡二叉树一定要满足二叉搜索树的特征

左右旋转：（LR旋转、左-右双旋）

破坏者：Jan，被破坏者：May
关系：破坏者是被破坏者的左子树的右子树，故作LR旋转
旋转结点：May、Aug、Mar
注意调整后的平衡二叉树一定要满足二叉搜索树的特征

右左旋转：（RL旋转、右-左旋转）

破坏者：Feb，被破坏者：Aug
关系：破坏者是被破坏者的右子树的左子树，故作RL旋转
旋转结点：Aug、Jan、Dec
注意调整后的平衡二叉树一定要满足二叉搜索树的特征

上图是调整后的结果，一定要保证结构式二叉搜索树。

练习训练：

讨论：是否可以用左右子树结点数差来衡量二叉树是否平衡？

讨论4.2 是否可以用左右子树结点数差来衡量二叉树是否平衡？
1962 年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发表了一篇论文 “An algorithm for the organization of information” ，提出了一种自平衡的二叉树，后人以他们的名字命名为AVL树。在AVL树中，评价二叉树是否平衡，衡量的标准是左右子树之间的高度差，即平衡因子。
为什么一定要用高度差来衡量呢？用左右两边结点数差来衡量是否也可行？比如，是否可以将“平衡因子”考虑为：左子树（右子树）结点数不能超过右子树（左子树）结点数一倍以上？
这样的“平衡”树怎么定义?在高度方面是否也是? 如果发现不平衡，调整方便不方便？
大家可以讨论一下。如果有好的方案，说不定在计算机历史上又多了一种以你名字命名的xxx平衡树。

代码：

代码

typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree; /* AVL树类型 */
struct AVLNode{
    ElementType Data; /* 结点数据 */
    AVLTree Left;     /* 指向左子树 */
    AVLTree Right;    /* 指向右子树 */
    int Height;       /* 树高 */
};

int Max ( int a, int b )
{
    return a > b ? a : b;
}

AVLTree SingleLeftRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B */
  /* 将A与B做左单旋，更新A与B的高度，返回新的根结点B */     

    AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    A->Height = Max( GetHeight(A->Left), GetHeight(A->Right) )   1;
    B->Height = Max( GetHeight(B->Left), A->Height )   1;
 
    return B;
}

AVLTree DoubleLeftRightRotation ( AVLTree A )
{ /* 注意：A必须有一个左子结点B，且B必须有一个右子结点C */
  /* 将A、B与C做两次单旋，返回新的根结点C */
    
    /* 将B与C做右单旋，C被返回 */
    A->Left = SingleRightRotation(A->Left);
    /* 将A与C做左单旋，C被返回 */
    return SingleLeftRotation(A);
}

/*************************************/
/* 对称的右单旋与右-左双旋请自己实现 */
/*************************************/

AVLTree Insert( AVLTree T, ElementType X )
{ /* 将X插入AVL树T中，并且返回调整后的AVL树 */
    if ( !T ) { /* 若插入空树，则新建包含一个结点的树 */
        T = (AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
        T->Data = X;
        T->Height = 0;
        T->Left = T->Right = NULL;
    } /* if (插入空树) 结束 */

    else if ( X < T->Data ) {
        /* 插入T的左子树 */
        T->Left = Insert( T->Left, X);
        /* 如果需要左旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == 2 )
            if ( X < T->Left->Data ) 
               T = SingleLeftRotation(T);      /* 左单旋 */
            else 
               T = DoubleLeftRightRotation(T); /* 左-右双旋 */
    } /* else if (插入左子树) 结束 */
    
    else if ( X > T->Data ) {
        /* 插入T的右子树 */
        T->Right = Insert( T->Right, X );
        /* 如果需要右旋 */
        if ( GetHeight(T->Left)-GetHeight(T->Right) == -2 )
            if ( X > T->Right->Data ) 
               T = SingleRightRotation(T);     /* 右单旋 */
            else 
               T = DoubleRightLeftRotation(T); /* 右-左双旋 */
    } /* else if (插入右子树) 结束 */

    /* else X == T->Data，无须插入 */

    /* 别忘了更新树高 */
    T->Height = Max( GetHeight(T->Left), GetHeight(T->Right) )   1;
    
    return T;
}

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