刷题动态规划——数位DP数字游戏 2各位数字:和模N为0

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这题可以包含前导0，因为前导0对各位数字之和没有影响。

先预处理出f[i, j, k]，代表位数是i，最高位是j，被N整除余k的数的个数。
例如f[3, 6, 9]就是600~699中被N整数余9的数的个数。

对于f[i, j, k]，加上i-1位，最高位是l的余数符合要求的数f[i-1, l, t]即可，其中$(tj)\%n=k$。
换而言之$t=kp\ast n-j$，$p=0,1,2,...$

之后同其他数位DP分析方式相同，先看最高位 a n − 1 a_{n-1} an−1，枚举最高位$j$是 0   a n − 1 − 1 0~a_{n-1}-1 0 an−1−1的情况，将满足的数的个数加入答案，注意这边有$i1$位，答案要加$f[i1][j][t]$，接着更新$last$，看下一位。
$last$用来记录前面几位的和，因此这边的$t$满足$(tlast)\%n=0$。换而言之$t=p\ast n-last$，$p=0,1,2,...$

这题不看到最后一位尚不知道所有答案，因此不会提前break退出。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 105; 
const int M = 15; // 2^31 < 1e10

int a, b, n;
int f[M][M][N];

void init(int n) {
	
	for (int j = 0; j <= 9; j    ) {
		f[1][j][j % n]    ;
	}
	
	for (int i = 2; i < M; i    ) {
		for (int j = 0; j <= 9; j    ) {
			for (int k = 0; k < n; k    ) {
				for (int l = 0; l <= 9; l    ) {
					for (int p = 0; k   p * n - j < n; p    ) {
						int t = k   p * n - j;
						if (t >= 0) f[i][j][k]  = f[i - 1][l][t];
					}
				}
			}
		}
	}
}

int dp(int num) {
	if (!num) return 1;
	vector<int> nums;
	while(num) nums.push_back(num % 10), num /= 10;
	
	int res = 0, last = 0;
	
	for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i -- ) {
		int x = nums[i];
		for (int j = 0; j < x; j    ) {
			for (int k = 0; k * n - last < n; k    ) {
				int t = k * n - last;
				if (t >= 0) res  = f[i   1][j][t];
			}
		}
		last = (last   x) % n;
		
		if (!i && !last) res    ;
	}
	
	return res;
}

int main() {
	while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &n)) {
		memset(f, 0, sizeof f);
		init(n);
		printf("%d\n", dp(b) - dp(a - 1));
	}

	return 0;
} 

由于上面初始化的$t$满足$(tj)\%n=k$，dp过程中的$t$满足$(tlast)\%n=0$。由$f$的定义，这边的$t$也是$\%n$的余数，范围在$[0,n-1]$，因此不必枚举$p$，只需自定义取模的规则mod，使得mod结果都为正数即可。

int mod(int x, int y) {
	return (x % y   y) % y; // 所有模数返回正数 
}

这样$(tj)\%n=k$变成$t=mod(k-j,n)$，$(tlast)\%n=0$变成$t=mod(-last,n)$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;

const int N = 105; 
const int M = 15; // 2^31 < 1e10

int a, b, n;
int f[M][M][N];

int mod(int x, int y) {
	return (x % y   y) % y; // 所有模数返回正数 
}

void init(int n) {
	
	for (int j = 0; j <= 9; j    ) {
		f[1][j][j % n]    ;
	}
	
	for (int i = 2; i < M; i    ) {
		for (int j = 0; j <= 9; j    ) {
			for (int k = 0; k < n; k    ) {
				for (int l = 0; l <= 9; l    ) {
					f[i][j][k]  = f[i - 1][l][mod(k - j, n)];
				}
			}
		}
	}
}

int dp(int num) {
	if (!num) return 1;
	vector<int> nums;
	while(num) nums.push_back(num % 10), num /= 10;
	
	int res = 0, last = 0;
	
	for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i -- ) {
		int x = nums[i];
		for (int j = 0; j < x; j    ) {
			res  = f[i   1][j][mod(-last, n)];
		}
		last = (last   x) % n;
		
		if (!i && !last) res    ;
	}
	
	return res;
}

int main() {
	while(~scanf("%d%d%d", &a, &b, &n)) {
		memset(f, 0, sizeof f);
		init(n);
		printf("%d\n", dp(b) - dp(a - 1));
	}

	return 0;
} 

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