从调度问题看贪心算法最优性证明

贪心算法最优性证明

首先我们引入一个问题Interval Scheduling（调度问题）

现在你拥有一个资源，它可能是一间教室、一台计算机等，许多人都要求使用这个资源（计算机），但是这个资源（计算机）同一时间只能被一个人使用，我们想要达成的目标是，从起始时间s开始到结束时间f，我们可以尽可能多的满足使用这个资源的要求。

我们也可以更正式的理解这个问题。

现在我们有一组请求 request = {1, 2, 3, … , n}，request_i的开始时间是start_i，结束时间是end_i，我们的目标是从集合request中选出尽可能多的不重合的request。

贪心算法通常都是很自然的思路，我们可以想到

1. 总是选择最先开始的request，这样可以使我们的资源更早的投入使用。
2. 总是选择持续时间最短的request，这样可以使我们的资源更快的被释放，这样可以使更多的请求被接受。
3. 总是选择冲突最少的request，这样可以使得我们拒绝更少的request。
4. 总是选择最先结束的request。

对于每一个贪心策略，我们都需要证明它是否能够一步一步的到达最优解。

1. 我们可以首先声明一个最优解O。
2. 如果在第一步，可以证明贪心策略不比最优解差。
3. 我们假设第k步，贪心策略的选择也不必最优解差。
4. 那么我们只要证明第k 1步，贪心策略的选择也可以接受，那么就说明贪心策略可以达到最优解。

对于第4个思路，我们可以给出最优性证明。

我们期望证明它得到的可以接受的request数是A，最优解得到的可以接受的request数是O，如果我们可以证明A === O，那么就说明这个贪心策略将会得到最优解。

接下来，我们假设A中的第i个request的结束时间是end_i，O中第i个request的结束时间是End_i，如果我们可以证明end_i不迟于End_i，那么贪心策略会是最优的。

1. 当i === 1，因为贪心策略选择的是所有request中最早结束的request，所以end₁必然不迟于End₁。

2. 我们假设当i === k时，end_k也不迟于End_k。

3. 我们现在要证明当i === k 1时，end_{k 1}不迟于End_{k 1}。

   因为贪心策略始终选择剩下的（没有被拒绝，也没有被接受的）request中的最早完成的，又因为前一步中end_k不迟于End_k，所以对于第k 1步，贪心策略也必然选择不迟于最优解的request，这样我们就证明贪心策略的最优性。

我们通常是使用数学归纳法来证明最优解的。

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