✨概率论期末(三套卷)——试卷①✨

✨博主：命运之光
✨专栏：概率论期末速成（三套卷）

✨✨为了让大家看的清楚，我在文章的最后附上了导入前笔记的样子，供大家参考。

✨一、填空题（在下列各题填写正确答案，不填、填错，该题无分，每小题3分，共36分）

1、设$A,B,C$为3个事件，则表示$A,B,C$中至少两个发生的事件是____.

第一题比较简单，我们通过答案就可以理解，所以这里就不过多阐述。

解题：
A ˉ B C A B ˉ C A B C ˉ A B C \={A}BC A\={B}C AB\={C} ABC AˉBC ABˉC ABCˉ ABC
2、设事件$A,B$独立，且$P(A)=0.4$，$P(B)=0.2$，则 P ( A ∪ B ˉ ) = P(A \cup \={B})= P(A∪Bˉ)=____.
知识点：
P ( A ∪ B ) = { P ( A ) P ( B ) − P ( A B ) P ( A ) P ( B ) if  A B = ∅ P(A \cup B)=\begin{cases} P(A) P(B)-P(AB) \\ P(A) P(B) &\text{if } AB=\emptyset \end{cases} P(A∪B)={P(A) P(B)−P(AB)P(A) P(B)if AB=∅
解题：套用上面知识点

P ( A ∪ B ) = P ( A ) P ( B ˉ ) − P ( A B ˉ ) = 0.4 0.8 − 0.4 × 0.8 = 1.2 − 0.32 = 0.88 \begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) P(\={B})-P(A\={B}) \\ &= 0.4 0.8-0.4×0.8 \\ &= 1.2-0.32\\ &= 0.88 \end{aligned} P(A∪B)=P(A) P(Bˉ)−P(ABˉ)=0.4 0.8−0.4×0.8=1.2−0.32=0.88

3、设在全部产品中有20%是废品，而合格品有85%是一级品，则任意抽出一个产品是一级品的概率为_____.

这题也较简单看答案就能理解

解题：
合格品：$1-20\%=80\%$
任取一个产品是一级品的概率为：$80\%\times 85\%=0.8\times 0.85=0.68$
4、设在一次试验中，事件A发生的概率为0.6.现进行3次独立试验，则A至少发生概率为_____.

这题也较简单看答案就能理解

分析这题采用反证法：
$A$至少发生概率为：$1-A$一次也不发生的概率。
题解：
$A$至少发生概率为： 1 − P ˉ = 1 − ( 0.4 × 0.4 × 0.4 ) = 0.936 1-\={P}=1-(0.4×0.4×0.4)=0.936 1−Pˉ=1−(0.4×0.4×0.4)=0.936
5、设离散型随机变量的$X$分布函数为 F ( x ) { 0 , x < − 1 0.1 , − 1 ≤ x ＜ 0 0.5 , 0 ≤ x ＜ 2 F(x)\begin{cases} 0,&x<-1\\ 0.1,&-1≤x＜0\\ 0.5,&0≤x＜2 \end{cases} F(x)⎩ ⎨ ⎧0,0.1,0.5,x<−1−1≤x＜00≤x＜2则 P { x = 0 } = P\begin{Bmatrix}x=0 \end{Bmatrix}= P{x=0}=_____.

这题套用知识点直接解就行

知识点：
P { x = 0 } = P { X ≤ 0 } − P { x < 0 } P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\} P{x=0}=P{X≤0}−P{x<0}
解题：套用上面知识点
P { x = 0 } = P { X ≤ 0 } − P { x < 0 } = 0.5 − 0.1 = 0.4 P\{x=0\}=P\{X≤0\}-P\{x<0\}=0.5-0.1=0.4 P{x=0}=P{X≤0}−P{x<0}=0.5−0.1=0.4
6、设随机变量X的分布函数为 F ( x ) = A 1 π a r c t a n x F(x)=A \frac 1 \pi arctanx F(x)=A π1arctanx,则$A=$.
知识点：
$F(\infty )=1$
$F(-\infty )=0$
解题：套用上面知识点
KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.
解得： A = 1 2 A=\frac1 2 A=21
7、设随机变量$X\backsim N(1,4)$，且$\Phi (2)=0.9772$，则 P { 1 ≤ x ≤ 5 } = P\{1≤x≤5\}= P{1≤x≤5}=.
知识点：
正态分布 X ∽ N ( μ , δ 2 ) X\backsim N( \mu , \delta^2) X∽N(μ,δ2)
密度 P ( X ) = 1 ( 2 π δ e − ( x − μ ) 2 2 δ 2 P(X)={\frac 1 { \sqrt{\mathstrut 2\pi} \delta}}e^{\frac {-({x-\mu})^2} {2\delta^2}} P(X)=(2π δ1e2δ2−(x−μ)2
期望$E(x)=\mu$
方差 D ( x ) = δ 2 D(x)=\delta^2 D(x)=δ2
P { a < x < b } = P { a − μ δ < x − μ δ < b − μ δ } = Φ ( b − μ δ ) − Φ ( a − μ δ ) P\{a<x<b\}=P\{\frac {a-\mu} \delta<\frac {x-\mu} \delta<\frac {b-\mu} \delta\}=\Phi(\frac {b-\mu} \delta)-\Phi(\frac {a-\mu} \delta) P{a<x<b}=P{δa−μ<δx−μ<δb−μ}=Φ(δb−μ)−Φ(δa−μ)
$\Phi (0)=0.5$
解题：套用上面知识点
8.设随机变量$X\backsim P(\lambda )$，且$E[X(X-2)]=6$，则$\lambda$.
知识点：
分布律： P = { x = k } = λ 2 k ! e − λ ， ( k = 0 , 1 , 2... , n ) P=\{x=k\}=\frac {\lambda^2} {k!}e^{-\lambda}，(k=0,1,2...,n) P={x=k}=k!λ2e−λ，(k=0,1,2...,n)
$E(x)=D(x)=\lambda$
E ( x 2 ) = D ( x ) E 2 ( x ) = λ λ 2 E(x^2)=D(x) E^2(x)=\lambda \lambda^2 E(x2)=D(x) E2(x)=λ λ2
解题：套用上面知识点

KaTeX parse error: {align} can be used only in display mode.

解得：$\lambda =3$
9、设二维随机变量$(X,Y)\backsim N(-1,0,4,9,0.2)$，则$cov(X,Y)=$.
知识点：
二维正态分布 ( X , Y ) ∽ N ( μ 1 ， μ 2 ， δ 1 2 ， δ 2 2 ， p ) (X,Y)\backsim N(\mu_1，\mu_2，\delta^2_1，\delta^2_2，p) (X,Y)∽N(μ1，μ2，δ12，δ22，p)
其中
μ 1 = E ( X ) μ 2 = E ( Y ) δ 1 2 = D ( X ) δ 2 2 = D ( Y ) P = P X Y \begin{aligned} &\mu_1=E(X) \\&\mu_2=E(Y) \\&\delta^2_1=D(X) \\&\delta^2_2=D(Y) \\&P=P_{XY} \end{aligned} μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY
c o v ( X , Y ) = ( ( D ( X ) × ( D ( Y ) ) × P cov(X,Y)=(\sqrt{\mathstrut D(X)}×\sqrt{\mathstrut D(Y)} )×P cov(X,Y)=((D(X) ×(D(Y) )×P
X ∽ N ( μ , δ 1 2 ) ， Y ∽ N ( μ , δ 2 2 ) X\backsim N(\mu,\delta^2_1)，Y\backsim N(\mu,\delta^2_2) X∽N(μ,δ12)，Y∽N(μ,δ22)
解题：套用上面知识点
c o v ( X , Y ) = ( ( D ( X ) × ( D ( Y ) ) × P = 2 × 3 × 0.2 = 1.2 cov(X,Y)=(\sqrt{\mathstrut D(X)}×\sqrt{\mathstrut D(Y)} )×P=2×3×0.2=1.2 cov(X,Y)=((D(X) ×(D(Y) )×P=2×3×0.2=1.2
10.设 X ∽ U ( 0 ， 2 ) ， Y ∽ E x p ( 1 ) X\backsim U(0，2)，Y\backsim E_{xp}(1) X∽U(0，2)，Y∽Exp(1)，且$X$与$Y$相互独立，则$D(2X-3Y4)=$_____.
知识点：
均匀分布$X\backsim U(a，b)$
密度 p ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , 其他 p(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a},&a<x<b \\0,&其他 \end{cases} p(x)={b−a1,0,a<x<b其他
方差 D ( x ) = ( b − a ) 2 12 D(x)=\frac {(b-a)^2} {12} D(x)=12(b−a)2
期望 E ( x ) = a b 2 E(x)=\frac {a b} 2 E(x)=2a b

指数分布 X ∽ E x p ( λ ) X\backsim E_{xp}(\lambda) X∽Exp(λ)
密度 P ( x ) = { 1 b − a ， a < x < b 0 , 其他 P(x)=\begin{cases} \frac 1 {b-a}，&a<x<b\\ 0,&其他 \end{cases} P(x)={b−a1，0,a<x<b其他
方差 D ( x ) = 1 λ 2 D(x)=\frac 1 {\lambda^2} D(x)=λ21
期望 E ( x ) = 1 λ E(x)=\frac 1 \lambda E(x)=λ1
解题：套用上面知识点
μ 1 = E ( X ) μ 2 = E ( Y ) δ 1 2 = D ( X ) δ 2 2 = D ( Y ) P = P X Y \begin{aligned} &\mu_1=E(X) \\&\mu_2=E(Y) \\&\delta^2_1=D(X) \\&\delta^2_2=D(Y) \\&P=P_{XY} \end{aligned} μ1=E(X)μ2=E(Y)δ12=D(X)δ22=D(Y)P=PXY
11.设 X 1 , X 2 , X 3 X_1,X_2,X_3 X1,X2,X3是来自总体$X$的样本，且 E ( X ) = μ , μ ˆ = 1 4 X 1 k X 2 1 8 X 3 E(X)=\mu,\^{\mu }=\frac 1 4X_1 kX_2 \frac 1 8 X_3 E(X)=μ,μˆ=41X1 kX2 81X3是$\mu$的无偏估计，则$k=$.
解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦
k = 1 − 1 4 − 1 8 = 5 8 k=1-\frac1 4-\frac1 8=\frac5 8 k=1−41−81=85
12.设 X 1 , X 2 , X 3 , X 4 X_1,X_2,X_3,X_4 X1,X2,X3,X4是总体$X\backsim N(0，2)$的随机样本， Y = X 1 2 X 2 2 X 3 2 C X 4 2 ∽ F ( 3 , 1 ) Y=\frac{{X_1}^2 {X_2}^2 {X_3}^2} {{CX_4}^2}\backsim F(3,1) Y=CX42X12 X22 X32∽F(3,1)，则$C=$.
解题：这题不懂得直接记着就行，题一变就变了比较麻烦，反正我问的人都已经选择放弃这一题了/(ㄒoㄒ)/~~所以没有人给我讲这道题。。。。。。
答案：3

✨二、计算题(本大题6小题，每小题9分，共54分)。

1. 试求（1）$a$；（2）概率 P { − 1 < X < 2 } P\{-1<X<2\} P{−1<X<2}；（3） Y = 2 X 2 1 Y=2X^2 1 Y=2X2 1的分布律.

解题：
（1）
因为 2 a a 1 8 a 2 5 = 1 2a a \frac 1 8 \frac a 2 5=1 2a a 81 2a 5=1，故 a = 7 68 a=\frac7 {68} a=687
（2）

P { − 1 < X < 2 } = P { X = 0 } P { X = 1 } = 1 8 7 136 = 3 17 \begin{aligned} P\{-1<X<2\}&=P\{X=0\} P\{X=1\} \\&=\frac 1 8 \frac7 {136} \\&=\frac 3 {17} \end{aligned} P{−1<X<2}=P{X=0} P{X=1}=81 1367=173
（3）
Y = 2 X 2 1 Y=2X^2 1 Y=2X2 1取值为1，3，9

14、已知随机变量的$X$密度函数为： p ( x ) = { 2 x 2 a , 0 < x < 1 0 , 其他 p(x)=\begin{cases} 2x^2 a,&0<x<1\\ 0,&其他 \end{cases} p(x)={2x2 a,0,0<x<1其他试求（1）常数$a$；（2）$E(2X1)$；（3）$X$的分布函数$F(x)$.
解题：
（1）
因为 ∫ 0 1 ( 2 x 2 a ) d x = 2 3 a = 1 \int_0^1(2x^2 a)dx=\frac 2 3 a=1 ∫01(2x2 a)dx=32 a=1
故 a = 1 3 a=\frac 1 3 a=31
（2）
E ( 2 x 1 ) = ∫ 0 1 ( 2 x 1 ) ( 2 x 2 1 3 ) d x = 7 3 \begin{aligned} E(2x 1)&=\int_0^1(2x 1)(2x^2 \frac1 3)dx \\&=\frac 7 3 \end{aligned} E(2x 1)=∫01(2x 1)(2x2 31)dx=37
（3）$X$的分布函数
F ( x ) = ∫ − ∞ x p ( x ) d x = { 0 , x ≤ 0 ; 2 3 x 2 1 3 x , 0 ≤ x ＜ 1 ; 1 , x ≥ 1 F(x)=\int_{-\infty}^xp(x)dx=\begin{cases} 0,&x≤0;\\ \frac 2 3x^2 \frac 1 3x,&0≤x＜1;\\ 1,&x≥1 \end{cases} F(x)=∫−∞xp(x)dx=⎩ ⎨ ⎧0,32x2 31x,1,x≤0;0≤x＜1;x≥1
15.设连续型随机变量$X$的密度函数为： P x ( x ) = { 2 π ( 1 x 2 ) , x > 0 0 , x < 0 P_x(x)=\begin{cases} \frac 2 {\pi(1 x^2)},&x>0\\ 0,&x<0 \end{cases} Px(x)={π(1 x2)2,0,x>0x<0求：（1）求概率 P { X 2 ≤ 3 } P\{X^2≤3\} P{X2≤3}；（2）$Y=\ln X$的密度函数 p Y ( y ) p_Y(y) pY(y).
解题：
（1）
P { X 2 ≤ 3 } = P { − ( 3 ≤ X ≤ ( 3 } = ∫ − ( 3 0 0 d x ∫ 0 ( 3 2 π ( 1 x 2 ) d x = 2 π arctan ⁡ ∣ 0 ( 3 = 2 3 \begin{aligned} P\{X^2≤3\}&=P\{-\sqrt{\mathstrut 3}≤X≤\sqrt{\mathstrut 3}\} \\&=\int_{-\sqrt{\mathstrut 3}}^00dx \int_0^{\sqrt{\mathstrut 3}}\frac 2 {\pi(1 x^2)}dx \\&=\frac 2 \pi \arctan|_0^{\sqrt{\mathstrut 3}} \\&=\frac 2 3 \end{aligned} P{X2≤3}=P{−(3 ≤X≤(3 }=∫−(3 00dx ∫0(3 π(1 x2)2dx=π2arctan∣0(3 =32
（2）
$y=\ln x$在$0<x<\infty$的反函数 x = e y x=e^y x=ey，$-\infty <y<\infty$
且 x 、 = e y x^、=e^y x、=ey
$Y=\ln X$的密度函数 P Y ( y ) = 2 e y π ( 1 e 2 y ) , − ∞ < y < ∞ P_Y(y)=\frac {2e^y} {\pi(1 e^{2y})},-\infty<y< \infty PY(y)=π(1 e2y)2ey,−∞<y< ∞
16.设二维随变量$(X,Y)$的密度函数为 p ( x , y ) = { 1 8 ( 6 − x − y ) 0 < x < 2 , 2 < y < 4 0 其他 p(x,y)=\begin{cases} \frac 1 8(6-x-y)&0<x<2,2<y<4 \\0&其他 \end{cases} p(x,y)={81(6−x−y)00<x<2,2<y<4其他求（1）边缘密度函数 p X ( x ) p_X(x) pX(x)；（2）$p(XY\le 4)$.
解题：
（1）边缘密度函数
p X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ p ( x , y ) d y = { ∫ 2 4 1 8 ( 6 − x − y ) d y , 0 < x < 2 ′ 0 , 其他， = { 1 4 ( 3 − x ) , 0 < x < 2 ; 0 , 其他， \begin{aligned} p_X(x)&=\int_{-\infty}^{ \infty}p(x,y)dy \\&=\begin{cases}\int_2^4\frac1 8(6-x-y)dy,&0<x<2'\\0,&其他， \end{cases} \\&=\begin{cases} \frac 14 (3-x),&0<x<2;\\ 0,&其他， \end{cases} \end{aligned} pX(x)=∫−∞ ∞p(x,y)dy={∫2481(6−x−y)dy,0,0<x<2′其他，={41(3−x),0,0<x<2;其他，
（2）
p { X Y ≤ 4 } = ∬ x y ≤ 4 p ( x , y ) d x d y = ∫ 2 4 d y ∫ 0 4 − y 1 8 ( 6 − x − y ) d x = 2 3 \begin{aligned} p\{X Y≤4\}&=\small\iint_{\mathclap{x y≤4}}p(x,y)dxdy\\&=\int_2^4dy\int_0^{4-y}\frac1 8(6-x-y)dx \\&=\frac2 3 \end{aligned} p{X Y≤4}=∬x y≤4p(x,y)dxdy=∫24dy∫04−y81(6−x−y)dx=32
17.设随机变量$(X,Y)$的分布律为
Y / X 1 2 3 0 0.2 0.1 0.1 − 1 0.15 0.2 0.25 \begin{array}{c|lcr} Y/X & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline 0 & 0.2 & 0.1 & 0.1 \\ -1 & 0.15 & 0.2 & 0.25 \\ \end{array} Y/X0−110.20.1520.10.230.10.25（1）求$X$及$Y$的边缘分布律，并判断$X$与$Y$的独立性；（2）求$Z=XY$的分布律.
解题：
(1)
$X$的边缘分布律
X 1 2 3 P 0.35 0.3 0.35 \begin{array}{c|lcr} X & \text{1} & \text{2} & \text{3} \\ \hline P & 0.35 & 0.3 & 0.35 \\ \end{array} XP10.3520.330.35
$Y$的边缘分布律
Y 0 -1 P 0.4 0.6 \begin{array}{c|lcr} Y & \text{0} & \text{-1} \\ \hline P & 0.4 & 0.6\\ \end{array} YP00.4-10.6
因为 P { X = 1 , Y = 0 } = 0.2 ≠ P { X = 1 } P { Y = 0 } = 0.35 × 0.4 = 0.14 P\{X=1,Y=0\}=0.2≠P\{X=1\}P\{Y=0\}=0.35×0.4=0.14 P{X=1,Y=0}=0.2=P{X=1}P{Y=0}=0.35×0.4=0.14
故$X$与$Y$不独立
（2）$Z=XY$的取值为0、1、2、3，其分布律
X 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 0.1 \begin{array}{c|lcr} X & \text{0} & \text{1} &\text{2}& \text{3} \\ \hline P & 0.15 & 0.4 & 0.35 & 0.1\\ \end{array} XP00.1510.420.3530.1
18.设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn是取自总体$X$的简单随机样本，且总体$X$的密度函数为： p ( x ) = { θ x θ − 1 , 0 < x < 1 , 0 , 其他 p(x)=\begin{cases} \theta x^{\theta -1},&0<x<1,\\ 0,&其他 \end{cases} p(x)={θxθ−1,0,0<x<1,其他其中$\theta >0$未知，求（1）$\theta$的矩估计量；（2）$\theta$的极大似然估计量.
解题：
（1）
a 1 = E X = ∫ 0 1 x p ( x ) d x = ∫ 0 1 θ x θ d x = θ 1 θ \begin{aligned} a_1=EX&=\int_0^1xp(x)dx\\&=\int_0^1\theta x^\theta dx \\&=\frac \theta {1 \theta} \end{aligned} a1=EX=∫01xp(x)dx=∫01θxθdx=1 θθ
故 θ = a 1 1 − a 1 \theta = \frac {a_1} {1-a_1} θ=1−a1a1
则$\theta$的矩估计量 θ ^ = X ˉ 1 − X ˉ \hat{\theta}=\frac {\=X} {1-\=X} θ^=1−XˉXˉ.
（2）

后面都用照片来写/(ㄒoㄒ)/~~，打公式太慢了~

✨三、应用题（10分）

19、设甲乙两袋，甲袋中有$n$只白球，$m$只红球，乙袋中有$N$只白球，$M$只红球，今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，(1)从乙袋取到白球的概率：(2)现发现从乙袋取到的球为红球，问从甲袋取的球放入乙袋也是红球的概率是多少？

✨附上原笔记图片（祝大家考试顺利）

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