多普勒效应和多普勒频移的推导

多普勒效应及多普勒频移的简单推导

f d ≡ f R − f T (1) f_d\equiv f_R-f_T \tag{1} fd≡fR−fT(1)
  式中， f d f_d fd表示多普勒频移， f R f_R fR表示目标回波的频率（Hz), f T f_T fT表示发射信号的频率（Hz）。
多普勒频移的表达式为：
f d = 2 v λ (2) f_d=\frac{2v}{\lambda} \tag{2} fd=λ2v(2)
  式中，$\lambda$为信号波长(m)，v为雷达与目标间的相对径向速度(m/s)。这是一个近似的表达式，适用于目标相对于雷达的径向速度远小于电磁波传播速度的情况。实际情况往往如此，因此通常用(2)式来计算目标的径向速度。
  多普勒效应是由奥地利数学家多普勒首先发现和提出的，它反映了信号频率与运动速度之间的关系。值得注意的是这里的速度指相对的径向速度，即运动速度沿二者直线方向的分量。
  下面对多普勒频移的表达式(2)作一个简单的推导。
  雷达发射一段正弦波，起始点为A,终止点为B,在空间延伸的长度为D,频率为 f 0 f_0 f0.目标以径向速度 v r v_r vr向着雷达飞行（远离雷达飞行时速度为负数，原理相同）,如图所示：

  由于目标向雷达运动，B点接触目标后，到A点接触目标，所需的时间$\Delta t$为：
Δ t = D c v r ( s ) (3) \Delta t=\frac{D}{c v_r}(s)\tag{3} Δt=c vrD(s)(3)
  当A点接触目标时，B点相对于目标的距离就是反射后正弦波的长度 D ′ D' D′，其计算式为：
D ′ = ( c − v r ) ⋅ Δ t = c − v r c v r D (4) D'=(c-v_r)\cdot\Delta t=\frac{c-v_r}{c v_r}D\tag{4} D′=(c−vr)⋅Δt=c vrc−vrD(4)
其中 c − v r c-v_r c−vr表示$B$点反射后电磁波相对目标的速度。
  反射后的正弦波长度小于反射前的长度，但波的个数是不变的，设反射后的频率为 f 0 ′ f_0' f0′，则有：
f 0 ′ f 0 = D D ′ = c v r c − v r = 1 2 v r c − v r ≈ 1 2 v r c (5) \frac{f_0'}{f_0}=\frac{D}{D'}=\frac{c v_r}{c-v_r}=1 \frac{2v_r}{c-v_r}\approx1 \frac{2v_r}{c}\tag{5} f0f0′=D′D=c−vrc vr=1 c−vr2vr≈1 c2vr(5)
上式成立的条件是电磁波传播速度远大于目标运动速度，实际情况中通常如此，则多普勒频移 f d f_d fd为：
f d = f 0 ′ − f 0 = f 0 ⋅ 2 v r c = 2 v r λ (6) f_d=f_0'-f_0=f_0\cdot\frac{2v_r}{c}=\frac{2v_r}{\lambda}\tag{6} fd=f0′−f0=f0⋅c2vr=λ2vr(6)

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