高阶导数——“高等数学”
一、高阶导数的定义
二、高阶导数的计算
1.直接法
2.间接法
一、高阶导数的定义
一阶导数的导数称为二阶导数,二阶以上的导数可由归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。从概念上讲,高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算,但从实际运算考虑这种做法是行不通的。因此有必要研究高阶导数特别是任意阶导数的计算方法。
从概念上讲,高阶导数计算就是连续进行一阶导数的计算。因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可以了,但从实际计算角度看,却存在两个方面的问题:
(1)一是对抽象函数高阶导数计算,随着求导次数的增加,中间变量的出现次数会增多,需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。
(2)二是逐阶求导对求导次数不高时是可行的,当求导次数较高或求任意阶导数时,逐阶求导实际是行不通的,此时需研究专门的方法。
这个C(a,b) 我们之前也说过 意思是在(a,b)内所有的连续的函数的集合
二、高阶导数的计算
1.直接法
记住!!!
这也是需要记住的
下面,来看一下由这道例题衍生出来的常用结论
常用高阶导数公式(记下来!!!)
2.间接法
我们会发现,这与我们高中学过的二项式定理有点相似
二项式定理(英语:binomial theorem),又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂,即广义二项式定理。
下面,我们来看几道例题
因为此函数的最高次幂为二次,所以求到二阶导数就不用再求了,它的三阶导数及之后的导数都为零
这道题目也用了莱布尼兹公式
莱布尼茨法则,也称为乘积法则,是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。
小结
好啦,小雅兰今天的内容就到这里了,这篇博客主要讲解的是高阶导数,并复习了高中时期学过的二项式定理,学习了一个新的公式——莱布尼兹公式。小雅兰加油呀!!!
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