pagerank算法

一、pagerank简介

PageRank算法的基本想法是在有向图上定义一个随机游走模型，即一阶马尔可夫链，描述随机游走者沿着有向图随机访问各个结点的行为。在一定条件下，极限情况访问每个结点的概率收敛到平稳分布，这时各个结点的平稳概率值就是其PageRank值，表示结点的重要度。PageRank 是递归定义的，PageRank 的计算可以通过迭代算法进行。

入链数：指向该节点的链接数
出链数：由该节点指出的链接数
以上图为例：A的入链数为2，出链数为3，所以将由A指向其他节点的边权重设置为1/3，表示A访问B、C、D节点的概率均为1/3

两个重要假设

• 数量假设:在Web图模型中，如果一个页面节点接收到的其他网页指向的入链数量越多，那么这个页面越重要。
• 质量假设:指向页面A的入链质量不同，质量高的页面会通过链接向其他页面传递更多的权重。所以越是质量高的页面指向页面A，则页面A越重要。

二、pagerank算法

公式定义

• PR（a）表示当前节点a的PR值
• PR（Ti）表示其他各个节点（能够指向a）的PR值
• L（Ti）表示其他各个节点（能够指向a）的出链数
• i代表当前时刻或迭代次数

计算演示

接下来以下图为例进行计算演示：

1. 将四个节点的初始PR都设置为1/4
2. 根据每一个节点（a）的入链节点(Ti)的PR值及出链数和自身(a)的PR值
3. 不断进行迭代，直到PR值不再发生变化

以A为例：
A有两个入链节点C（出链数为1，PR=1/4）和D（出链数为2，PR=1/4）由计算公式得到：i=1时刻的PR（A） = (1/4)/1 (1/4)/2 = 3/8
其余节点计算方法类似，不作赘述。

矩阵化计算

该有向图的邻接矩阵如下所示：

借助邻接矩阵（转移矩阵）的表示方式，我们可以简化上述计算，将四个节点的PR值转化为V向量，并于转移矩阵相乘，可以得到新一轮的PR值向量

由此可以得到每一步PR值迭代的结果为：MV， MMV， MMM*V 最终会收敛为M‘ * V（详细数学证明，有兴趣可以百度查询）

三、存在的两个问题

问题1.Dead Ends

如上图所示：B没有任何出链，这就是Dead Ends,Dead Ends会导致网站权重变成0.

最朴素的想法是：对全是0的列的每一个元素加上1/n（n为节点个数）
对M进行修正

问题2.Spider Traps

如上图所示，A节点与其它节点之间没有出链，这就是Spider Traps，这将导致网站权重变为像一个节点偏移（经过多轮迭代后，A的权重越来越大，趋近于1）
需要对M进行修正：

如上图所示仍有β的概率访问出链页面，但剩下（1 -β）的概率会随机跳转到其他页面，防止一直从A跳转到A的情况

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