动态规划 Python Code

01背包问题

问题描述：
给定n个物品和一个容量为C的背包，物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包问题是如何选择入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大。
不能重复装，物品不可拆分
代码实现：

def dsf(n,total_weight):

   if(total_weight == 0): return 0
    if(n == 0): return 0

    if(w[n-1] > total_weight):
        return dsf(n-1,total_weight)
    else:
        return max(v[n-1] dsf(n-1,total_weight-w[n-1]),dsf(n-1,total_weight))
w = [2,1,3,2]
v = [3,2,4,2]
n = 4
total_weight = 5
print(dsf(n,total_weight))

钢条切割问题

问题描述：
某公司出售钢条，出售价格与钢条长度之间的关系如下表:

问题:现有一段长度为n的钢条和上面的价格表，求切割钢条方案，使得总收益最大。

代码实现：

def cut_rod_recurision(price,length):
    if length==0:
        return 0
    else:
        res=0
        for i in range(1,length 1):
            res=max(res,price[i] cut_rod_recurision(price,length-i))
        return res

if __name__=="__main__":
    price=[0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30]
    print(cut_rod_recurision(price,9))

总结：
设长度为n的钢条切割后最优收益值为rn，可以得出递推式:
rn=max(pn,r1 rn−1,r2 rn−2,…,rn−1十r1)
可以将求解规模为n的原问题，划分为规模更小的子问题，完成一次切割后，可以将产生的两端钢条看成两个独立的钢条切割问题。

数字三角形问题

问题描述：
示出了一个数字三角形。 请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路
　　径，使该路径所经过的数字的总和最大。
　　●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
　　●1＜三角形行数≤100；
　　●三角形中的数字为整数0，1，…99；
　
代码实现：

n = int(input())
s = []
for i in range(n):
    s.append(list(map(int,input().split())))

def dfs(i,j):

   if(i > n-1 or j > n-1): return 0
    if(i<=n-1):
        dpn = s[i][j] max(dfs(i 1,j),dfs(i 1,j 1))
    return dpn

print(dfs(0,0))

总结：
对于当前的数字来说，他只有选择下面（行 1，列不变） 或者 右下角（行 1，列 1）
把问题又进一步分成 一个小问题。重复递归 求取最大值。

最长公共子序问题

问题描述：

def LCS(string1,string2):
    len1 = len(string1)
    len2 = len(string2)
    res = [[0 for i in range(len1 1)] for j in range(len2 1)] 
     #python 初始化二维数组 [len2 1],[len1 1]
    for i in range(1,len2 1):  #开始从1开始，到len2 1结束
        for j in range(1,len1 1):  #开始从1开始，到len2 1结束
            if string2[i-1] == string1[j-1]:
                res[i][j] = res[i-1][j-1] 1
            else:
                res[i][j] = max(res[i-1][j],res[i][j-1])
    return res,res[-1][-1]  #返回res[len2 1][len1 1]
print(LCS("helloworld","loop"))
# 输出结果为：
[[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
 [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1],
 [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2],
 [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3],
 [0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3]], 3

总结：
利用动态规划。

下一步就要找到状态之间的转换方程。

因此可以根据这个方程来进行填表，以"helloworld"和“loop”为例：

最长上升子序列问题

问题描述：
给定一个长度为N的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数N。
第二行包含N个整数，表示完整序列。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N≤1000，
−10^{9≤数列中的数≤10}9
输入样例：
7
3 1 2 1 8 5 6

代码实现：

n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))
 
dp = [1]*(n)
res = 1
for i in range(1, n):  #判断以 nums[i] 结尾的最长子序列
    for j in range(i):
        if nums[j] < nums[i]:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] 1)  # dp[i]  表示的就是 以sums[i] 结尾的最长子序列
    res = max(res, dp[i])
print(res)

总结：
先写出DP方程 dp[i] = max(dp[i],dp[j] 1)

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