0-1背包java动态规划)

第2章 动态规划

2.1 动态规划基本介绍

1）动态规划（Dynamic Programming）算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法

2）动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也还是将待求解问题分解成若干个小问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解

3）与分治算法不同的是：以用于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是相互独立的（即：下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的基础上。进行进一步的求解）

4）动态规划是可以通过填表的方式逐步推导，得到最优解

2.2 0-1背包问题

3）思路分析和图解

• 背包问题主要是指一个给定容量的背包，若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分为0-1背包和完全背包（完全背包指的是：每种物品都有无限件可用）
• 这里的问题属于0-1背包，即每个物品最多放一个，而无限背包可以转换成0-1背包

思路分析：

算法的主要思想：利用动态规划来解决，每次遍历到第i个物品，根据w[i] 和v[i] 来确定是否需要将该物品放入到背包中，即对于给定的n个物品，设v[i] 、w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量，再令v[i] [j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则有如下结果

• v[i] [0] = v[0] [j] = 0;

• 规定不能装任何东西的时候，或者背包的容量为0的时候，最大价值就是0

• 当w[i] > j ; v[i] [j] = v[i-1] [j];

  • //当准备加入新增的物品的容量大于当前背包的容量时，此时背包的最大价值就是加入该物品之前，其他已经放入到背包中的最大价值

• 当j > =w[i] ; v[i] [j] = max{v[i-1] [j], v[i] v[i-1] [ j -w[i] ] v[i] }

  • //当准备加入的新增物品的容量小于等于当前背包的容量
  • 3.如果准备加入的物品的重量比背包包容量小的话，有两种选择 1、把当前物品放入背包 2、不把当前物品放入背包，这两种选择取决于 放入当前物品后是否会导致背包容量溢出，**如果溢出的话，就比较当前背包的价值与溢出的物品的 价值大小，**如果溢出前物品的价值大，就不放入当前物品。 如果溢出前的物品价值小，就放入当前物品，把之前放入的物品取出。 如果不溢出的话，把当前物品也加入到背包中，之前的物品也不需要取出。

• //装入的方式：

  j ：背包的容量

  w[i] : 第i物品的重量

  v[i] : 第i物品的价值

v[i-1] [j] :第i个物品之前的装入最大价值

v[i-1] [j - w[i]] : 装入i-1个物品，到剩余空间的最大值

代码实现

package com.ldm.dynamic;

import java.util.Arrays;

/**
 * @author 梁东明
 * 2022/9/11
 * 人生建议：看不懂的方法或者类记得CTRL   点击 看看源码或者注解
 * 点击setting在Editor 的File and Code Templates 修改
 *
 * 0-1背包问题
 *
 */
public class KnapSackProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] w = {1,4,3}; //物品的重量
        int[] val = {1500,3000,2000};//物品的价值

        int m = 4; //背包的容量
        int n = val.length; //物品的个数

        //创建二维数组表示 前i个商品能够装入容量为j的背包的最大价值
        int[][] v = new int[n 1][m 1];
        //为了记录物品的放置情况，再定义一个二维数组
        int[][] path = new int[n 1][m 1];




        //规定不能装任何东西的时候，或者背包的容量为0的时候，最大价值就是0
        for (int i = 0; i < v.length; i  ) {
            v[i][0] = 0;  //第一列设置为0（背包的容量为0的时候）
        }
        /*
        for (int i = 0; i < v[0].length; i  ) {
            v[0][i] = 0; //第一行设置为0（背包不装任何东西的时候）
        }
        */
        //上面三行代码可以用这一行代码代替（CTRL   点击 看看源码，这样你就懂了）
        //很多方法，都不需要我们重复造轮子，JDK自己就已经封装好了，我们直接调用就行了
        Arrays.fill(v[0], 0);//第一行设置为0（背包不装任何东西的时候）


        //动态规划
        for (int i = 1; i < v.length; i  ) { //不处理第一行，因为上两步已经把它们置为0了
            for (int j = 1; j < v[i].length; j  ) { //不出来第一列，

                //当准备加入新增的物品的容量大于当前背包的容量时，
                //此时背包的最大价值就是加入该物品之前，其他已经放入到背包中的最大价值
                 if ( w[i-1] > j){ //本来应该是w[i] > j 的，但是我们的程序是从1开始的，所以要减1
                     v[i][j] = v[i-1][j];
                 }
                //3.如果准备加入的物品的重量比背包包容量小的话，
                // 有两种选择 1、把当前物品放入背包  2、不把当前物品放入背包，
                // 这两种选择取决于 放入当前物品后是否会导致背包容量溢出，
                // 如果溢出的话，就比较当前背包的价值与溢出的物品的价值大小
                // 如果溢出前物品的价值大，就不放入当前物品。
                // 如果溢出前的物品价值小，就放入当前物品，把之前放入的物品取出。
                // 如果不溢出的话，把当前物品也加入到背包中，之前的物品也不需要取出。
                 else if (j >= w[i-1]){//本来应该是j >= w[i] 的，但是我们的程序是从1开始的，所以要减1

                     // v[i][j] = Math.max(v[i-1][j],val[i-1]   v[i-1][j-w[i-1]]);
                     if (v[i-1][j] > val[i-1]   v[i-1][j-w[i-1]] ){
                         v[i][j] = v[i-1][j];

                     }else {
                         v[i][j] =  val[i-1]   v[i-1][j-w[i-1]];
                         path[i][j] = 1;
                     }


                 }
            }
        }


        //遍历二维数组，输出元素
        System.out.println("背包中物品的价值变化");
        for (int i = 0; i < v.length; i  ) {
            for (int j = 0; j < v[i].length; j  ) {
                System.out.print(v[i][j]  "\t");
            }
            System.out.println();
        }

        System.out.println("================");
        int i = path.length - 1; //行的最大下标
        int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
        //从path的最后面开始找，看看到底背包中最后放置了哪几个物品
        while ( i > 0 && j > 0){
            if (path[i][j] == 1){
                System.out.println("第 "   i  " 个物品放入到背包中");
                j -= w[i-1];
            }
            i--;
        }
        System.out.println("背包中物品的最大价值是："  v[n][m]);
    }
}

本次0-1背包算法 的教程出自韩顺平的数据结构与算法

数据结构和算法教程，哔哩哔哩详细教程
在 156 - 159p.

最后，认识一下，我是小白。努力成为一名合格的程序员。期待与你的下次相遇。

这篇好文章是转载于：学新通技术网