确定和不确定有限自动机DFA和NFA和子集法互相转换

编译原理正规式NFA与DFA及子集法

1.基础术语与概念：

语法描述基本概念

• 字母表：一个有穷字符集记为Σ

• 字母表中每个元素称为字符

• Σ上的字(字符串)是指Σ中的字符所构成的一个有穷序列

• 不包含任何字符的序列称为空字，记作ε

• 用Σ*表示Σ上的所有字的全体，包含空字ε

• 例如：设Σ={a,b}，则Σ*={ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, …}，即Σ的闭包

• Σ*的子集U和V的连接(积)定义为
  U V = { α β }    α ∈ U , β ∈ V UV=\left\{ \alpha \beta \right\}\; \alpha \in U,\beta \in V UV={αβ}α∈U,β∈V

• V自身的n次积记为
  V n = V    V    . . .    V V^{n}=V\; V\; ...\; V Vn=VV...V

• V自身的0次积记为
  V 0 = { ϵ } V^{0}=\left\{ \epsilon \right\} V0={ϵ}

• V*是V的闭包：
  V ∗ = V 0 ∪ V 1 ∪ V 2 ∪ V 3 ∪ . . . V^*=V^{0}\cup V^{1}\cup V^{2}\cup V^{3}\cup ... V∗=V0∪V1∪V2∪V3∪...

• V^ 是V的正规闭包(剔除了闭包的空串ε)：
  V = V V ∗ = V 1 ∪ V 2 ∪ V 3 ∪ . . . V^{ }=VV^*=V^{1}\cup V^{2}\cup V^{3}\cup ... V =VV∗=V1∪V2∪V3∪...

2.正规式与正规集

• ε和ϕ都是Σ上的正规式，它们所表示的正规集分别为{ε}和{ }
• 对于任何a属于Σ，a是Σ上的一个正规式，它所表示的正规集为{a}
• 假定e1和e2都是Σ上的正规式，它们所表示的正规集分别为L(e1)和L(e2)，那么，(e1)，e1|e2，e1·e2，e1*也都是正规式，它们所表示的正规集分别为L(e1)，L(e1)并L(e2)，L(e1)L(e2)和(L(e1))*
• 仅由有限次使用上述三步骤而定义的表达式才是Σ上的正规式，仅由这些正规式所表示的集合才是Σ上的正规集

3.确定有限自动机（DFA）

4.不确定有限自动机（NFA）

5.子集法使NFA转化为DFA：

目的：把NFA的一组节点转化为DFA的一个节点（DFA的每一个状态对应NFA的一组状态）。通常，NFA易于人眼去识别，DFA更易于计算机去识别。DFA是NFA的特例。总结如下：

DFA和NFA的区别在函数的状态，比如DFA输入1只能到一个状态，而NFA可能有多个状态

NFA:设计容易，其不确定性使得识别单词符号的速度较慢

DFA:设计困难，占用空间太大，易于计算机实现

NFA到DFA的变换：子集构造法

正规式 => NFA => DFA

例：

Step1.正规表达式：
( a ∣ b ) ∗ a b (a|b)^*ab (a∣b)∗ab
Step2.NFA：

Step3.状态转换矩阵：

从矩阵(表)中可以看出，每一个表格项通常是一个状态集合，(如状态0通过a弧可以到达状态0和状态1)，而在DFA的矩阵表示中，表格项是一个状态。

NFA到相应的DFA的构造的基本思路是：

DFA的每一个状态对应NFA的一组状态

DFA使用它的状态去记录在NFA读入一个输入符号后可能达到的所有状态。

Step4.做好准备工作：

1. 添加新的初态X和终态Y，将X指向所有初态并用ε弧链接，所有终态指向Y，并用ε弧链接。(为了使NFA的初态与终态唯一)。
2. 对当前的NFA状态转换图M进一步替换得到新的状态转换图M’，且L(M)=L(M’) 。(即，1-2是为了将NFA转化为只有一个初态，且每个箭弧上只有一个字符的状态转换图)

Step5:子集法:

1. ε-closure(X):从状态X出发，只经过ε转换能到达的所有状态的集合
   则上图中有：ε-closure(X)={X,0,1} 。即{0,1}中任一状态都是从状态0经任意条ε弧可到达的状态。令
   ε-closure(X)={X,0,1} =A。则move(A, a) = {0,2}，而又有ε-closure({0,2})={0,1,2} 。为方便表示，我们取
   
   于是，我们便有如下对应表：

含义：状态集I0通过a弧可以到达状态集I1，通过b弧可以到达状态集I2
所以，只需要吧所有状态集都找出来，不含有未知状态集，即完成了转换

2. 将各个步骤求得的I，放入到状态集合S中，重复步骤1，直到没有没被放到状态集合S的状态集为止。
   

   所有状态是指，没有新的状态产生了。比如I3没有产生I4或者I5，如有，则一直进行下去。

3. 得到所有状态后，可以得出状态转换图：
   

4. 此时这个状态转换图就可以画出DFA了。
   初态为I0，终态为含有原终态的状态集。比如我这里终态是I3，因为它={0,1,3}，含有原终态3 。(如果自己引入了终态Y，则是含有Y的状态集为终态)

   

6.备注

例子正确性不保真，自己画图自己做的。方法论是自己参考后提炼出来的，大家理性参考一下即可，有错误欢迎指出。

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